Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o comprimento de arco da curva
no intervalo
.
Informações dadas:
O objetivo final é calcular o comprimento de arco da curva entre os pontos correspondentes a
e
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (sem provar aqui, mas explicando o que significa): se uma curva é dada por
com derivada
contínua em
, o comprimento de arco
é
O que cada coisa significa:
-
é a derivada da função (a inclinação da reta tangente); - dentro da raiz,
vem de aplicar o teorema de Pitágoras a um pequeno segmento da curva; - a integral soma todos esses pequenos comprimentos ao longo do intervalo.
Portanto aqui teremos
,
e
.
Passo 3
Calcular a derivada
. Usamos a regra do expoente: se
então
.
Aplicando a temos
Aplicando a
Passo 4
Substituir
na fórmula do comprimento:
Vamos transformar essa integral para uma forma mais simples por substituição.
Passo 5
Escolha da substituição: vemos potências de
e
. Então é natural definir
Então
e
. Também
.
Limites em
:
Passo 6
Transformar o integrando passo a passo. Começamos por reescrever a raiz:
Colocando em denominador comum:
Portanto a raiz é
Multiplicando pela
obtemos o integrando em
:
Logo a integral fica
Passo 7
Resolver a integral
. Fazemos outra substituição simples para integrar:
Defina
Então
A integral vira
Integrando:
Passo 8
Voltar para a variável
e avaliar nos limites. Lembre que
. Então a primitiva é
. Avaliando de
a
:
Simplificando um pouco:
logo
Passo 9
Breve comentário final e incentivo: chegamos a uma forma exata para o comprimento. Em provas, mostrar a substituição adequada (
) e a troca de variáveis com cuidado nos limites costuma ser suficiente para obter a resposta; você fez tudo certinho! Se quiser, posso também calcular uma aproximação numérica para esse valor.