Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
y=x^{2 / 3}-1, \quad 1 \leq x \leq 2

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o comprimento de arco da curva y = x^{2/3}-1 no intervalo 1 \le x \le 2.
Informações dadas:
y = x^{2/3}-1,\qquad x\in[1,2].
O objetivo final é calcular o comprimento de arco da curva entre os pontos correspondentes a x=1 e x=2.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (sem provar aqui, mas explicando o que significa): se uma curva é dada por y=f(x) com derivada f'(x) contínua em [a,b], o comprimento de arco L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
O que cada coisa significa:
  • f'(x) é a derivada da função (a inclinação da reta tangente);
  • dentro da raiz, 1+(f'(x))^{2} vem de aplicar o teorema de Pitágoras a um pequeno segmento da curva;
  • a integral soma todos esses pequenos comprimentos ao longo do intervalo.
Portanto aqui teremos a=1, b=2 e f(x)=x^{2/3}-1.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x). Usamos a regra do expoente: se f(x)=x^{m} então f'(x)=m x^{m-1}.
Aplicando a f(x)=x^{2/3}-1 temos
f'(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-1/3}.

Passo 4

Substituir f'(x) na fórmula do comprimento:
L=\int_{1}^{2}\sqrt{1+\left(\frac{2}{3}x^{-1/3}\right)^{2}}\,dx =\int_{1}^{2}\sqrt{1+\frac{4}{9}x^{-2/3}}\,dx.
Vamos transformar essa integral para uma forma mais simples por substituição.

Passo 5

Escolha da substituição: vemos potências de x^{1/3} e x^{-2/3}. Então é natural definir
t = x^{1/3}.
Então x=t^{3} e dx=3t^{2}\,dt. Também x^{-2/3}=t^{-2}.
Limites em t:
\text{quando } x=1 \Rightarrow t=1^{1/3}=1,\qquad \text{quando } x=2 \Rightarrow t=2^{1/3}=\sqrt[3]{2}.

Passo 6

Transformar o integrando passo a passo. Começamos por reescrever a raiz:
1+\frac{4}{9}x^{-2/3}=1+\frac{4}{9}t^{-2}.
Colocando em denominador comum:
1+\frac{4}{9}t^{-2}=\frac{9t^{2}+4}{9t^{2}}.
Portanto a raiz é
\sqrt{1+\frac{4}{9}t^{-2}}=\sqrt{\frac{9t^{2}+4}{9t^{2}}}=\frac{\sqrt{9t^{2}+4}}{3t}.
Multiplicando pela dx=3t^{2}\,dt obtemos o integrando em t:
\sqrt{1+\frac{4}{9}x^{-2/3}}\,dx =\frac{\sqrt{9t^{2}+4}}{3t}\cdot 3t^{2}\,dt =t\sqrt{9t^{2}+4}\,dt.
Logo a integral fica
L=\int_{t=1}^{t=\sqrt[3]{2}} t\sqrt{9t^{2}+4}\,dt.

Passo 7

Resolver a integral \displaystyle \int t\sqrt{9t^{2}+4}\,dt. Fazemos outra substituição simples para integrar:
Defina
w=9t^{2}+4.
Então
dw=18t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{dw}{18}.
A integral vira
\int t\sqrt{9t^{2}+4}\,dt=\int \sqrt{w}\,\frac{dw}{18}=\frac{1}{18}\int w^{1/2}\,dw.
Integrando:
\frac{1}{18}\cdot\frac{w^{3/2}}{3/2}=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}w^{3/2}=\frac{1}{27}w^{3/2}.

Passo 8

Voltar para a variável t e avaliar nos limites. Lembre que w=9t^{2}+4. Então a primitiva é \displaystyle \frac{1}{27}(9t^{2}+4)^{3/2}. Avaliando de t=1 a t=\sqrt[3]{2}:
L=\frac{1}{27}\Bigl[(9t^{2}+4)^{3/2}\Bigr]_{1}^{\sqrt[3]{2}} =\frac{1}{27}\left(\bigl(9(\sqrt[3]{2})^{2}+4\bigr)^{3/2}-(9\cdot1^{2}+4)^{3/2}\right).
Simplificando um pouco:
9(\sqrt[3]{2})^{2}=9\cdot 2^{2/3},\qquad 9\cdot1^{2}+4=13,
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L=\frac{1}{27}\Bigl(\bigl(9\cdot 2^{2/3}+4\bigr)^{3/2}-13^{3/2}\Bigr).

Passo 9

Breve comentário final e incentivo: chegamos a uma forma exata para o comprimento. Em provas, mostrar a substituição adequada ( t=x^{1/3}) e a troca de variáveis com cuidado nos limites costuma ser suficiente para obter a resposta; você fez tudo certinho! Se quiser, posso também calcular uma aproximação numérica para esse valor.

Resposta

\displaystyle L=\frac{1}{27}\Bigl(\bigl(9\cdot 2^{2/3}+4\bigr)^{3/2}-13^{3/2}\Bigr)

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