Calcular o comprimento de arco da curva dada de forma paramétrica.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva dada parametricamente por
Informações relevantes que temos:
A única pergunta é: qual é o comprimento de arco dessa curva para
variando de
a
?]
Passo 2
Vou explicar a fórmula que usamos para comprimentos de curvas paramétricas, devagar e com paciência. Imagine a curva percorrida por um ponto cuja posição é
. Se dividirmos o intervalo de
em pequenos pedaços e aproximarmos cada pedaço por um segmento de reta, a soma dos comprimentos desses segmentos tende, no limite, a uma integral. Pelo teorema fundamental, o comprimento de arco
é dado por
onde
e
são os extremos do intervalo de parâmetro (aqui
e
), e
e
são as derivadas das coordenadas em relação a
. Intuitivamente,
é a velocidade escalar do ponto ao longo da curva — a rapidez com que a posição muda.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de
e
. Como
e
, temos derivadas constantes:
Pequena explicação: a derivada de uma função linear
é simplesmente o coeficiente
; é por isso que
e
.
Passo 4
Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento:
Aqui a raiz ficou constante, porque as derivadas são constantes — isso facilita muito a integral.
Passo 5
Integramos a constante
:
Isto é a expressão do comprimento obtida a partir da fórmula de arco.
Passo 6
Para reforçar a intuição: a curva é uma linha reta (porque
e
são funções lineares de
), então o comprimento da curva entre
e
é igual à distância euclidiana entre os pontos inicial e final. Calculando os pontos:
A distância entre esses pontos é
que é algebraicamente igual à expressão obtida antes (pois
).