Calcular o comprimento de arco da curva dada de forma paramétrica.
\left\{\begin{array}{l}x=3 t+2 \\\ y=t-1\end{array} \quad t \in[0,2]\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva dada parametricamente por
\begin{cases} x=3t+2\\[4pt] y=t-1 \end{cases}\qquad t\in[0,2].
Informações relevantes que temos:
\text{a curva está parametrizada por }t\text{, com }t\in[0,2],á
x(t)=3t+2,\qquad y(t)=t-1.
A única pergunta é: qual é o comprimento de arco dessa curva para t variando de 0 a 2?]

Passo 2

Vou explicar a fórmula que usamos para comprimentos de curvas paramétricas, devagar e com paciência. Imagine a curva percorrida por um ponto cuja posição é (x(t),y(t)). Se dividirmos o intervalo de t em pequenos pedaços e aproximarmos cada pedaço por um segmento de reta, a soma dos comprimentos desses segmentos tende, no limite, a uma integral. Pelo teorema fundamental, o comprimento de arco L é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^{2}}\,dt,
onde a e b são os extremos do intervalo de parâmetro (aqui a=0 e b=2), e \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as derivadas das coordenadas em relação a t. Intuitivamente, \sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}} é a velocidade escalar do ponto ao longo da curva — a rapidez com que a posição muda.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x(t) e y(t). Como x(t)=3t+2 e y(t)=t-1, temos derivadas constantes:
\frac{dx}{dt}=3, \qquad \frac{dy}{dt}=1.
Pequena explicação: a derivada de uma função linear at+b é simplesmente o coeficiente a; é por isso que \frac{d}{dt}(3t+2)=3 e \frac{d}{dt}(t-1)=1.

Passo 4

Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento:
L=\int_{0}^{2}\sqrt{3^{2}+1^{2}}\,dt=\int_{0}^{2}\sqrt{9+1}\,dt=\int_{0}^{2}\sqrt{10}\,dt.
Aqui a raiz ficou constante, porque as derivadas são constantes — isso facilita muito a integral.

Passo 5

Integramos a constante \sqrt{10}:
L=\sqrt{10}\,\bigg[t\bigg]_{0}^{2}=\sqrt{10}\cdot(2-0).
Isto é a expressão do comprimento obtida a partir da fórmula de arco.

Passo 6

Para reforçar a intuição: a curva é uma linha reta (porque x e y são funções lineares de t), então o comprimento da curva entre t=0 e t=2 é igual à distância euclidiana entre os pontos inicial e final. Calculando os pontos:
\text{em }t=0:\\ (x,y)=(2,-1), \qquad \text{em }t=2:\\ (x,y)=(8,1).
A distância entre esses pontos é
\sqrt{(8-2)^{2}+(1-(-1))^{2}}=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40},
que é algebraicamente igual à expressão obtida antes (pois \sqrt{40}= \sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}).

Resposta

2\sqrt{10}

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