Determinar a área da região limitada pelas curvas paramétricas dadas.
7.3) entre lx=4 cos t y=2 sen t e lx=cos t y=sen t

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica entre duas curvas dadas por parametrizações: uma elipse x=4cos t, y=2sin t e o círculo unitário x=cos t, y=sin t. O conteúdo que vamos usar é o cálculo de área de uma região limitada por curva paramétrica via integral de Green (ou fórmula paramétrica de área) e, no fim, faremos a diferença das áreas.

Passo 2

Para a elipse, usamos a fórmula de área em coordenadas paramétricas:
Arm elipse=12integral0^2pil(x(t) ,y'(t)-y(t) ,x'(t)r),dt

Passo 3

Aqui x(t)=4cos t, então x'(t)=-4sin t; e y(t)=2sin t, então y'(t)=2cos t. Substituindo:
x(t) y'(t)-y(t) x'(t)=4cos tcdot2cos t-2sin tcdot(-4sin t)=8(cos^2t+sin^2t)=8

Passo 4

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Arm elipse=12integral0^2pi8,dt=4l[ tr]0^2pi=8pi

Passo 5

Para o círculo unitário, podemos usar diretamente a fórmula clássica A=pi r^2 com r=1 ou repetir o processo paramétrico:
Arm círculo=picdot1^2=pi í

Passo 6

A região entre as curvas é a diferença entre essas áreas, já que o círculo fica inteiramente dentro da elipse.
A= Arm elipse-Arm círculo=8pi-pi=7pi í

Resposta

7\pi

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