Determinar a área da região limitada pelas curvas paramétricas dadas.
7.3) entre
e
7.3) entre
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica entre duas curvas dadas por parametrizações: uma elipse
e o círculo unitário
. O conteúdo que vamos usar é o cálculo de área de uma região limitada por curva paramétrica via integral de Green (ou fórmula paramétrica de área) e, no fim, faremos a diferença das áreas.
Passo 2
Para a elipse, usamos a fórmula de área em coordenadas paramétricas:
Passo 3
Aqui
, então
; e
, então
. Substituindo:
Passo 4
Logo
Passo 5
Para o círculo unitário, podemos usar diretamente a fórmula clássica
com
ou repetir o processo paramétrico:
Passo 6
A região entre as curvas é a diferença entre essas áreas, já que o círculo fica inteiramente dentro da elipse.
Resposta
7\pi