Determinar a área da superfície obtida pela rotação, em torno do eixo y, do gráfico de y=x^22, 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada ao girar a curva definida por y=tfracx^22, de x=0 a x=1, em torno do eixo y. O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula que envolve o raio até o eixo de rotação e o elemento de arco.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, calculamos a derivada y'=dydx. Como y=tfracx^22, temos
y' = x

Passo 3

A fórmula da área de superfície ao girar em torno do eixo y é
S = 2pi integral0^1 x,raiz1 + (y')^2,dx
Substituindo y'=x obtemos
S = 2pi integral0^1 x,raiz1 + x^2,dx

Passo 4

Para resolver integral xraiz1+x^2,dx, fazemos a substituição u = 1 + x^2, de modo que du = 2x,dx. Assim,
integral xraiz1+x^2,dx = 12 integral u^1/2,du = 12 cdot 23u^3/2 = 13(1 + x^2)^3/2

Passo 5

Voltando ao cálculo de S, avaliamos de 0 a 1:
S = 2pi cdot 13l[(1+1^2)^3/2 - (1+0^2)^3/2r] = 2pi3l(2^3/2 - 1r) = 2pi3l(2raiz2-1r)

Passo 6

Portanto, a área pedida é dada pela expressão encontrada abaixo.

Resposta

2pi3l(2raiz2-1r)

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