Determinar a área de troca térmica requerida para um trocador construído para resfriar 25000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de álcool ( c_{p}=0,91 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 65^{\circ} \mathrm{C} para 40^{\circ} \mathrm{C}, usando 22700 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de água ( c_{p}=1,0 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), disponível a 10^{\circ} \mathrm{C}. Admitir coeficiente global (sujo) de transferência de calor \(U_{D}) de 490 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}, e considerar a seguinte configuração: trocador tipo TC-1.1, fluxos em correntes opostas ( qual o comprimento do trocador, considerando que o mesmo tem 99 tubos de diâmetro externo 25 mm ? ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações fornecidas (valores retirados do enunciado):
  • O que se pede: determinar o comprimento do trocador de calor, sabendo que ele possui 99 tubos de diâmetro externo 25\\ \mathrm{mm}.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão mássica do álcool: \dot{m}_h = 25000\\ \mathrm{kg/h}.
    • Capacidade térmica do álcool: c_{p,h}=0,91\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot{}^\circ C)}.
    • Temperatura do álcool (entrada/saída no trocador): entrando a 65^\circ\mathrm{C}, saindo a 40^\circ\mathrm{C}.
    • Vazão mássica da água: \dot{m}_c = 22700\\ \mathrm{kg/h}.
    • Capacidade térmica da água: c_{p,c}=1,0\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot{}^\circ C)}.
    • Temperatura de entrada da água: T_{c,i}=10^\circ\mathrm{C}. Temperatura de saída da água desconhecida (será determinada por balanço de energia).
    • Coeficiente global sujo: U_D = 490\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}.
    • Configuração: trocador tipo TC-1.1 com fluxos em correntes opostas (fluxo contracorrente). Assim, o fator de correção de LMTD pode ser tomado como F=1 (LMTD direto de corrente oposta).
    • Diâmetro externo do tubo: d_o = 25\\ \mathrm{mm} = 0,025\\ \mathrm{m}.
    • Número de tubos: N=99.

Passo 2

Calcular a taxa de calor (potência térmica) necessária para resfriar o álcool. A fórmula que usamos é a conservação de energia para o fluido quente:
Q = \dot{m}_h\; c_{p,h}\; (T_{h,i}-T_{h,o}).
Onde:
  • Q é a taxa de calor transferida (em \mathrm{kcal/h});
  • \dot{m}_h é a vazão mássica do fluido quente (álcool);
  • c_{p,h} é o calor específico do álcool;
  • T_{h,i} e T_{h,o} são temperaturas de entrada e saída do álcool.
Substituindo os valores:
Q = 25000 \times 0,91 \times (65-40).
Calcule passo a passo:
25000\times 0,91 = 22750,
65-40 = 25,
Q = 22750 \times 25 = 568750\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água usando balanço de energia (todo o calor perdido pelo álcool é ganho pela água, assumindo estado estacionário e sem perdas):
Q = \dot{m}_c\; c_{p,c}\; (T_{c,o}-T_{c,i}).
Isolando T_{c,o}:
T_{c,o} = T_{c,i} + \frac{Q}{\dot{m}_c\; c_{p,c}}.
Substituindo:
T_{c,o} = 10 + \frac{568750}{22700\times 1,0}.
Calcule:
\frac{568750}{22700}\approx 25,0555\ldots
T_{c,o} \approx 10 + 25,0555 = 35,0555^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente, T_{c,o}\approx 35,06^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o log-mean temperature difference (LMTD) para contracorrente. Para um trocador contracorrente, as diferenças térmicas nos dois extremos são:
\Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,o},\qquad \Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,i}.
Substituindo:
\Delta T_1 = 65 - 35,0555\approx 29,9444^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 40 - 10 = 30^\circ\mathrm{C}.
A fórmula do LMTD é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_2-\Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}.
Como os dois \Delta T são muito próximos, o LMTD ficará quase igual a cerca de 30^\circ\mathrm{C}. Calculando:
\Delta T_{lm} = \frac{30 - 29,944444}{\ln\!\left(\dfrac{30}{29,944444}\right)}.
Avaliação numérica:
30 - 29,944444 = 0,0555556,
\frac{30}{29,944444} \approx 1,001854,\qquad \ln(1,001854)\approx 0,0018523,
\Delta T_{lm}\approx \frac{0,0555556}{0,0018523}\approx 30,00^\circ\mathrm{C}.
Portanto, \Delta T_{lm}\approx 30,0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a área de troca térmica necessária usando a equação de resistência global:
Q = U_D\; A\; \Delta T_{lm}.
Isolando A:
A = \frac{Q}{U_D\; \Delta T_{lm}}.
Substituindo os valores:
A = \frac{568750}{490 \times 30}.
Calcule:
490 \times 30 = 14700,
A = \frac{568750}{14700}\approx 38,7095238\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando, A\approx 38,71\\ \mathrm{m^2}.
Observação de conceito: aqui foi usado U_D fornecido e o LMTD calculado. Como o trocador é contracorrente e a configuração TC-1.1 implica uma passagem em tubo e uma em casco (1-1), toma-se F\approx 1 (nenhuma correção adicional ao LMTD).

Passo 6

Converter a área total de troca em comprimento dos tubos sabendo que a área utilizada é a área externa dos tubos (superfície exterior dos tubos). A área externa total é:
A = N\; \pi\; d_o\; L,
onde
  • N é o número de tubos,
  • d_o é o diâmetro externo do tubo,
  • L é o comprimento (comprimento útil do tubo).
Isolando L:
L = \frac{A}{N\; \pi\; d_o}.
Substituindo os valores ( A\approx 38,7095238\\ \mathrm{m^2}, N=99, d_o=0,025\\ \mathrm{m}):
L = \frac{38,7095238}{99 \times \pi \times 0,025}.
Calcule passo a passo:
\pi \times 0,025 \approx 0,07853981634,
99 \times 0,07853981634 \approx 7,775441.
Portanto
L \approx \frac{38,7095238}{7,775441}\approx 4,977\\ \mathrm{m}.
Arredondando com 3 algarismos significativos, L\approx 4,98\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo das suposições feitas (importantes para a prova e para interpretar resultados):
  • Balanço de energia sem perdas (todo o calor do álcool passa para a água).
  • Coeficiente U_D aplicado à área externa dos tubos.
  • Fluxo em correntes opostas \Rightarrow fator de correção F=1, portanto LMTD usado é o LMTD ideal de contracorrente.
  • Não foram consideradas resistências adicionais (como incrustações variáveis além do dado em U_D) nem perdas termodinâmicas externas.

Resposta

L \approx 4,98\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados