Determinar a área de troca térmica requerida para um trocador construído para resfriar 25000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de álcool ( c_{p}=0,91 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 65^{\circ} \mathrm{C} para 40^{\circ} \mathrm{C}, usando 22700 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de água ( c_{p}=1,0 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), disponível a 10^{\circ} \mathrm{C}. Admitir coeficiente global (sujo) de transferência de calor \(U_{D}) de 490 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}, e considerar a seguinte configuração: trocador tipo TC-1.1, fluxos em correntes paralelas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos esses números do enunciado).
  • Vazões mássicas:
    • álcool: \dot{m}_h = 25000\\ \mathrm{kg/h} (é o fluido quente).
    • água: \dot{m}_c = 22700\\ \mathrm{kg/h} (é o fluido frio).
  • capacidades térmicas específicas:
    • álcool: c_{p,h}=0,91\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot ^\circ C)}.
    • água: c_{p,c}=1,0\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot ^\circ C)}.
  • temperaturas de entrada e saída exigida:
    • álcool entra a T_{h,i}=65^\circ\mathrm{C} e deve sair a T_{h,o}=40^\circ\mathrm{C} (saída especificada).
    • água entra a T_{c,i}=10^\circ\mathrm{C}; sua saída T_{c,o} é desconhecida e será determinada pela conservação de energia.
  • coeficiente global de transferência (sujo): U_D = 490\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot ^\circ C)}.
  • configuração: trocador do tipo TC-1.1, correntes paralelas (co-current).
  • O que se pede: área de troca térmica requerida A (em \mathrm{m^2}).

Passo 2

Calcular a taxa de calor necessária para resfriar o álcool (energia que deve ser removida do álcool). A fórmula de balanço para o fluido quente é
Q = \dot{m}_h\, c_{p,h}\, \bigl(T_{h,i} - T_{h,o}\bigr).
Aqui cada símbolo significa:
  • Q: taxa de calor removida do álcool (em \mathrm{kcal/h}).
  • \dot{m}_h: vazão mássica do álcool ( \mathrm{kg/h}).
  • c_{p,h}: calor massico do álcool ( \mathrm{kcal/(kg\cdot ^\circ C)}).
  • T_{h,i} e T_{h,o}: temperaturas de entrada e saída do álcool.
Substituindo os valores:
Q = 25000 \times 0,91 \times (65 - 40).
Calculemos passo a passo:
65-40 = 25,
0,91 \times 25 = 22,75,
Q = 25000 \times 22,75 = 568750\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água T_{c,o} usando conservação de energia (o calor ganho pela água é igual ao calor cedido pelo álcool, desprezando perdas). A equação é
Q = \dot{m}_c\, c_{p,c}\, \bigl(T_{c,o} - T_{c,i}\bigr).
Isolando T_{c,o}:
T_{c,o} = T_{c,i} + \frac{Q}{\dot{m}_c\, c_{p,c}}.
Substituindo os valores:
T_{c,o} = 10 + \frac{568750}{22700 \times 1,0}.
Calculemos:
\frac{568750}{22700} \approx 25,05507,
T_{c,o} \approx 10 + 25,05507 = 35,05507^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Explicar o conceito de diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) para correntes paralelas e a fórmula a usar.
Em um trocador co-current (paralelas), a diferença de temperatura entre os fluidos varia ao longo do comprimento. Define-se
  • \Delta T_1: diferença de temperatura na entrada (hot inlet minus cold inlet),
  • \Delta T_2: diferença de temperatura na saída (hot outlet minus cold outlet).
A diferença de temperatura média logarítmica é dada por
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Essa média é a adequada para usar na equação de transferência térmica global
Q = U_D\, A\, \Delta T_{lm},
onde A é a área de troca que queremos achar. Aqui:
  • \Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,i}.
  • \Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,o}.
Obs.: É preciso checar que \Delta T_1 e \Delta T_2 são positivas e diferentes para calcular o logaritmo.

Passo 5

Calcular \Delta T_1 e \Delta T_2 com os valores que temos.
\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,i} = 65 - 10 = 55^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,o} = 40 - 35,05507 \approx 4,94493^\circ\mathrm{C}.
Ambas são positivas e diferentes, então podemos usar a fórmula do LMTD.

Passo 6

Calcular a diferença de temperatura média logarítmica \Delta T_{lm}. Aplicando a fórmula:
\Delta T_{lm} = \frac{55 - 4,94493}{\ln\!\left(\dfrac{55}{4,94493}\right)}.
Calculemos passo a passo:
55 - 4,94493 = 50,05507,
\frac{55}{4,94493} \approx 11,1258,
\ln(11,1258) \approx 2,4094,
\Delta T_{lm} \approx \frac{50,05507}{2,4094} \approx 20,7747^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a área necessária usando a equação global de transferência de calor:
A = \frac{Q}{U_D\, \Delta T_{lm}}.
Substituindo os valores numéricos:
A = \frac{568750}{490 \times 20,7747}.
Calculemos o denominador e a área:
490 \times 20,7747 \approx 10175,6,
A \approx \frac{568750}{10175,6} \approx 55,887\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Checagens rápidas e observações (úteis para a prova):
  • A temperatura de saída da água 35,055^\circ\mathrm{C} é menor que a do álcool de saída 40^\circ\mathrm{C}, como esperado em correntes paralelas (os fluidos não se cruzam de temperatura).
  • \Delta T_{lm} está na ordem de 20^\circ\mathrm{C}, razoável dado os extremos de entrada de 55^\circ\mathrm{C} e saída muito menor.
  • Todas as unidades foram consistentes (kcal/h, ^\circ\mathrm{C}, m^2), então a área está em \mathrm{m^2}.

Resposta

A \approx 55,9\\ \mathrm{m^2}

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