Verificar a continuidade da função em \mathrm{x}=2\). \(f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2 \\\\ 4, & x=2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2,\\[6pt] 4, & x = 2 \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em x=2.
Para isso, lembramos que f é contínua em x=2 se e somente se
\lim_{x\to2} f(x) \;=\; f(2).]

Passo 2

Primeiro vamos calcular \lim_{x\to2} f(x) usando o ramo \frac{x^{2}-4}{x-2} para x\neq2. Observamos que
x^{2}-4 = (x-2)(x+2),
portanto, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2.
Assim, ao nos aproximarmos de 2,
\lim_{x\to2} f(x) = \lim_{x\to2} (x+2) = 4.

Passo 3

O valor da função em x=2 é dado por definição como
f(2)=4.

Passo 4

Como
\lim_{x\to2} f(x) = 4 \quad\text{e}\quad f(2) = 4,
temos \lim_{x\to2}f(x)=f(2), logo f é contínua em x=2.

Resposta

A função f é contínua em x=2.

Exercícios relacionados