Verificar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade (em \mathrm{x}=-1 ) da função:
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{x^{3}-1}{x+1}, & \text { se } & x<-1 \\\ x^{2}-3, & \text { se } & x \geq-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} \frac{x^{3}-1}{x+1},&x<-1,\\\ x^{2}-3,&x\ge-1, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em x=-1. Pelo conceito, precisamos calcular f(-1), \lim_{x\to-1^-}f(x) e \lim_{x\to-1^+}f(x) e comparar.

Passo 2

Para obter f(-1) usamos a ramificação de x\ge-1:
f(-1)=(-1)^{2}-3=1-3=-2.

Passo 3

Calculamos \lim_{x\to-1^-}\frac{x^{3}-1}{x+1}. Primeiro fazemos divisão de polinômios:
\frac{x^{3}-1}{x+1} = x^{2}-x+1-\frac{2}{x+1}.
Ao aproximar x de -1 pela esquerda, x+1 é negativo e tende a 0, de modo que -\tfrac{2}{x+1}\to+\infty. Logo
\lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty,
portanto não há limite finito pela esquerda.

Passo 4

Calculamos \lim_{x\to-1^+}(x^{2}-3). Como é polinomial,
\lim_{x\to-1^+}f(x)=(-1)^{2}-3=-2.

Passo 5

Temos \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty, \lim_{x\to-1^+}f(x)=-2 e f(-1)=-2. Como o limite pela esquerda não coincide (nem é finito), a função é descontinua em x=-1.

Resposta

A função apresenta descontinuidade infinita em x=-1.

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