Determinar os autovalores e autovetores da s transformações abaixo.
T(x, y, z)=(-2 x+3 y+z,-y,-4 z)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os autovalores e autovetores da transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z)=(-2x+3y+z,\\\ -y,\\\ -4z).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A regra de T sobre um vetor genérico (x,y,z) está explicitamente fornecida.
  • Não há outras restrições; trabalha-se em \mathbb{R}^3.
    As perguntas implícitas são:
  • Quais são os autovalores \lambda (valores escalares) tais que existe vetor não-nulo v com T(v)=\lambda v?
  • Para cada autovalor, quais são os autovetores (vazados de escala) correspondentes?

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3. Para isso, aplico T aos vetores da base:
  • T(1,0,0)=(-2,0,0).
  • T(0,1,0)=(3,-1,0).
  • T(0,0,1)=(1,0,-4).
    Organizando essas imagens como colunas, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.
Explicação curta: cada coluna j dessa matriz é T(e_j). Aqui a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero).]

Passo 3

Lembrete didático sobre autovalores/autovetores:
  • Um autovalor \lambda e um autovetor não-nulo v satisfazem A v = \lambda v.
  • Isso é equivalente a (A-\lambda I)v=0. Para existir vetor não-nulo solução, deve valer \det(A-\lambda I)=0.
  • Para matrizes triangulares (como A), o determinante de A-\lambda I é o produto das entradas da diagonal de A-\lambda I. Assim os autovalores aparecem nas entradas da diagonal de A (ou seja, as entradas diagonais são raízes do polinômio característico).

Passo 4

Usando a propriedade acima, os autovalores são simplesmente as entradas da diagonal de A:
\lambda_1=-2,\qquad \lambda_2=-1,\qquad \lambda_3=-4.
Breve justificativa: o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)(-1-\lambda)(-4-\lambda),
cuja raízes são \lambda=-2,-1,-4.

Passo 5

Agora vamos achar os autovetores correspondentes resolvendo [(A-\lambda I)v=0) para cada \lambda. Começo por \lambda=-2.
Calculo A-(-2)I=A+2I:
A+2I=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z) satisfaz (A+2I)v=0, o sistema é
\begin{cases} 0\cdot x + 3y + z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 1y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y -2z = 0. \end{cases}
Das equações: y=0\] (segunda equação) e \(-2z=0\Rightarrow z=0 (terceira). A primeira então é 0=0. O valor de x não aparece em nenhuma equação: x é livre e pode ser qualquer número não-nulo para obter um autovetor. Portanto os autovetores associados a \lambda=-2 são todos os vetores da forma
(x,0,0)=x(1,0,0),\qquad x\neq 0.
Resumo: espaço próprio para \lambda=-2 é \operatorname{span}\{(1,0,0)\}.]

Passo 6

Agora \lambda=-1\). Calculo \(A-(-1)I=A+I\): \[A+I=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A+I)(x,y,z)=0 obtemos o sistema
\begin{cases} - x + 3y + z = 0,\\[4pt] 0 = 0,\\[4pt] -3 z = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem z=0\]. Substituindo na primeira: \(-x+3y=0\Rightarrow x=3y. Portanto os autovetores são todos os vetores da forma
(3y,y,0)=y(3,1,0),\qquad y\neq 0.
Resumo: espaço próprio para \lambda=-1 é \operatorname{span}\{(3,1,0)\}.]

Passo 7

Finalmente \lambda=-4\). Calculo \(A-(-4)I=A+4I\): \[A+4I=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A+4I)(x,y,z)=0
\begin{cases} 2x + 3y + z = 0,\\[4pt] 3y = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
Da segunda equação y=0\]. Substituindo na primeira: \(2x+z=0\Rightarrow z=-2x. Assim os autovetores têm a forma
(x,0,-2x)=x(1,0,-2),\qquad x\neq 0.
Resumo: espaço próprio para \lambda=-4 é \operatorname{span}\{(1,0,-2)\}.]

Passo 8

Comentário rápido e motivador: encontramos três autovalores distintos e, para cada um, um autovetor não-nulo. Como os autovalores são distintos, os autovetores obtidos são linearmente independentes — ótimo sinal, pois isso indica que A (e portanto T) é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Bom trabalho — mesmo desgastado, isso é um resultado direto e útil em provas.

Resposta

\lambda=-2 : autovetores \operatorname{span}\{(1,0,0)\}
\lambda=-1 : autovetores \operatorname{span}\{(3,1,0)\}
\lambda=-4 : autovetores \operatorname{span}\{(1,0,-2)\}

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