Questão 1: (7 pts) Dadas as bases
, e
, determine as matrizes de mudança de base.
a) (2 pts)
a) (2 pts)
Passo 1
O enunciado dá três bases do espaço
:
,
e
.
A pergunta (parte a) pede explicitamente a matriz
A pergunta (parte a) pede explicitamente a matriz
Ou seja, é para determinar a matriz de mudança de base (representação da aplicação identidade) com a base
tanto no domínio quanto no contradomínio.
Passo 2
O que significa
? É a matriz que representa a aplicação identidade
quando escolhemos a base
para as coordenadas de entrada (domínio) e também a base
para as coordenadas de saída (contradomínio).
Regra prática para construir
: as colunas da matriz são as coordenadas (em relação à base do contradomínio) das imagens dos vetores da base do domínio. Em símbolos, se a base do domínio é
, então a
-ésima coluna de
é o vetor coluna
.
No nosso caso, como a base do domínio e do contradomínio são a mesma base
, cada coluna será simplesmente as coordenadas do próprio vetor da base
em relação a
.
Passo 3
A base
é
. Vamos nomear
Agora expressar cada
como combinação linear dos vetores de
(ou seja, obter suas coordenadas em
):
-
Para
: . Logo as coordenadas de em são . -
Para
: . Logo as coordenadas de em são .
Como as colunas de
são exatamente essas coordenadas, a matriz é formada por essas colunas, na ordem dos vetores da base.]
Passo 4
Montando a matriz com as colunas encontradas, obtemos