Questão 1: (7 pts) Dadas as bases \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta^{\prime}=\{(1,1),(2,1)\}, e \beta^{\prime \prime}=\{(-1,2),(3,-1)\}, determine as matrizes de mudança de base.
a) (2 pts) [I]_{\beta}^{\beta}

Passo 1

O enunciado dá três bases do espaço \mathbb{R}^2:
\beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta'=\{(1,1),(2,1)\} e \beta''=\{(-1,2),(3,-1)\}.
A pergunta (parte a) pede explicitamente a matriz
[I]_{\beta}^{\beta}.
Ou seja, é para determinar a matriz de mudança de base (representação da aplicação identidade) com a base \beta tanto no domínio quanto no contradomínio.

Passo 2

O que significa [I]_{\beta}^{\beta}? É a matriz que representa a aplicação identidade
I:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\qquad I(v)=v,
quando escolhemos a base \beta para as coordenadas de entrada (domínio) e também a base \beta para as coordenadas de saída (contradomínio).
Regra prática para construir [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}: as colunas da matriz são as coordenadas (em relação à base do contradomínio) das imagens dos vetores da base do domínio. Em símbolos, se a base do domínio é \mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}, então a j-ésima coluna de [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} é o vetor coluna [I(b_j)]_{\mathcal{C}}.
No nosso caso, como a base do domínio e do contradomínio são a mesma base \beta, cada coluna será simplesmente as coordenadas do próprio vetor da base \beta em relação a \beta.

Passo 3

A base \beta é \{(1,0),(0,1)\}. Vamos nomear
b_1=(1,0),\qquad b_2=(0,1).
Agora expressar cada b_j como combinação linear dos vetores de \beta (ou seja, obter suas coordenadas em \beta):
  • Para b_1: (1,0)=1\cdot(1,0)+0\cdot(0,1). Logo as coordenadas de b_1 em \beta são \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para b_2: (0,1)=0\cdot(1,0)+1\cdot(0,1). Logo as coordenadas de b_2 em \beta são \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Como as colunas de [I]_{\beta}^{\beta} são exatamente essas coordenadas, a matriz é formada por essas colunas, na ordem dos vetores da base.]

Passo 4

Montando a matriz com as colunas encontradas, obtemos
[I]_{\beta}^{\beta}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}]

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