Verificar se a transformação abaixo é um OPERADOR Linear:
T(x, y, z)=(x-y, x+y, 2 x+y)

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear candidata T definida em \mathbb{R}^3 por
T(x,y,z)=(x-y,\;x+y,\;2x+y).
O que o problema pede: verificar se essa transformação é um OPERADOR linear (ou seja, linearidade deve ser testada). As informações relevantes que temos:
  • A regra de transformação para um vetor (x,y,z) está explicitada componente a componente.
  • Não há restrição extra (domínio e contradomínio presumidos como \mathbb{R}^3).

Passo 2

Primeiro, lembrar (com calma) o que precisa ser verificado para dizer que T é linear. Um operador T é linear se e somente se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(Aditividade)}\qquad T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),
\text{(Homogeneidade)}\qquad T(c\,\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).
Vou checar cada uma dessas propriedades passo a passo, sem pular contas.

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Primeiro computo \mathbf{u}+\mathbf{v}:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Agora aplico T a \mathbf{u}+\mathbf{v} usando a regra do enunciado:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\big((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\big).
Simplifico cada componente agrupando termos:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\big((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;(x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(2x_1+y_1)+(2x_2+y_2)\big).
Agora computo T(\mathbf{u}) e T(\mathbf{v}) separadamente:
T(\mathbf{u})=(x_1-y_1,\;x_1+y_1,\;2x_1+y_1),
T(\mathbf{v})=(x_2-y_2,\;x_2+y_2,\;2x_2+y_2).
Somando componente a componente:
T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})=\big((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;(x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(2x_1+y_1)+(2x_2+y_2)\big).
Comparando com a expressão obtida para T(\mathbf{u}+\mathbf{v}), vemos que as componentes coincidem exatamente. Portanto a propriedade de aditividade está verificada algebraicamente para vetores genéricos.

Passo 4

Verificação da homogeneidade (multiplicação por escalar). Seja c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z). Primeiro computo c\mathbf{u}:
c\mathbf{u}=(c x,\;c y,\;c z).
Aplico T a c\mathbf{u} usando a regra do enunciado:
T(c\mathbf{u})=(c x - c y,\;c x + c y,\;2(c x) + c y).
Fatorando c em cada componente:
T(c\mathbf{u})=(c(x-y),\;c(x+y),\;c(2x+y)).
Agora computo c\,T(\mathbf{u}). Primeiro T(\mathbf{u}) é
T(\mathbf{u})=(x-y,\;x+y,\;2x+y),
então
c\,T(\mathbf{u})=(c(x-y),\;c(x+y),\;c(2x+y)).
As duas expressões são idênticas componente a componente. Assim, a propriedade de homogeneidade também está verificada para escalar arbitrário c e vetor genérico \mathbf{u}.

Passo 5

Comentário prático e forma matricial (útil na prova). Uma maneira rápida de ver linearidade é observar que cada componente de T(x,y,z) é uma combinação linear das coordenadas x,y,z com coeficientes constantes (não há termos independentes nem produtos não-lineares). Por isso existe uma matriz A tal que T(\mathbf{v})=A\mathbf{v} para todo \mathbf{v}. Construindo a matriz pelos coeficientes das componentes:
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}1\cdot x + (-1)\cdot y + 0\cdot z \\[4pt] 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z \\[4pt] 2\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Toda transformação que pode ser escrita como T(\mathbf{v})=A\mathbf{v} é linear por definição de multiplicação matricial. Esse é um atalho muito útil na prova: identificar a matriz dos coeficientes.]

Resposta

Sim. T é um operador linear.

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