Determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P
A=\left[\begin{array}{cc} -5 & -9 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-5 & -9 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • Determinar uma matriz P que diagonalize A.
  • Calcular P^{-1} A P.
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos de A são todos os quatro números indicados acima.
  • A tarefa consiste em encontrar autovalores e autovetores de A, montar P com autovetores linearmente independentes como colunas e calcular P^{-1}AP (a matriz diagonal de autovalores).]

Passo 2

Conceito rápido (explicação didática): uma matriz A é diagonalizável se existir uma matriz invertível P tal que
P^{-1} A P = D
onde D é diagonal. As entradas da diagonal de D são autovalores de A, e as colunas de P são autovetores correspondentes. Para achar autovalores usamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Calculemos o polinômio característico de A. Primeiro escrevemos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-5-\lambda & -9 \\[4pt] 2 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(-5-\lambda)(4-\lambda)-(-9)\cdot 2.]

Passo 3

Expandindo o determinante passo a passo:
(-5-\lambda)(4-\lambda)+18.
Multiplicando os termos:
(-5)(4) + (-5)(-\lambda) + (-\lambda)(4) + (-\lambda)(-\lambda) +18.
Isto é
-20 +5\lambda -4\lambda +\lambda^2 +18.
Somando termos semelhantes obtemos o polinômio característico simplificado:
\det(A-\lambda I)=\lambda^2 +\lambda -2.

Passo 4

Agora resolvemos \lambda^2+\lambda-2=0. Fatores óbvios:
\lambda^2+\lambda-2=(\lambda+2)(\lambda-1).
Portanto os autovalores são
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=-2.

Passo 5

Próximo passo: encontrar autovetores associados a cada autovalor. Para \lambda_1=1 resolvemos (A-I)v=0. Escrevendo a matriz:
A-I=\begin{pmatrix}-6 & -9 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Queremos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} tal que
\begin{pmatrix}-6 & -9 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
A primeira equação é -6x-9y=0. Dividindo por -3 obtemos 2x+3y=0, logo
x=-\tfrac{3}{2}y.
Escolhemos um y conveniente (podemos escalar o autovetor livremente); tomar y=2 x=-3. Assim um autovetor associado a \lambda_1=1 é
v_1=\begin{pmatrix}-3\\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Checagem rápida: A v_1 =\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\end{pmatrix}=1\cdot v_1.]

Passo 6

Agora o autovalor \lambda_2=-2. Resolvemos (A+2I)v=0:
A+2I=\begin{pmatrix}-3 & -9 \\[4pt] 2 & 6\end{pmatrix}.
A primeira equação é -3x-9y=0, que simplifica para x+3y=0, ou seja x=-3y. Escolhendo y=1 obtemos x=-3. Assim um autovetor associado a \lambda_2=-2 é
v_2=\begin{pmatrix}-3\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Checagem: A v_2 = \begin{pmatrix}6\\[4pt]-2\end{pmatrix} = -2\cdot\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montamos a matriz P colocando os autovetores como colunas. Se escolhermos a ordem \lambda_1=1 primeiro e \lambda_2=-2 segundo, então
P=\begin{pmatrix}-3 & -3 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},
onde a primeira coluna é v_1 e a segunda é v_2.
Verificamos que as colunas são linearmente independentes computando \det(P):
\det(P)=(-3)\cdot 1 - (-3)\cdot 2 = -3 +6 = 3 \neq 0.
Como \det(P)\neq 0, P é invertível e de fato diagonaliza A.]

Passo 8

Agora calculemos P^{-1}. Para uma matriz 2\times 2
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=-3, b=-3, c=2, d=1 e ad-bc=3. Logo
P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] -2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 9

Cálculo direto de P^{-1} A P. Primeiro observação útil (economiza contas): A aplicada às colunas de P
A v_1 = 1\cdot v_1,\qquad A v_2 = -2\cdot v_2.
Assim
A P = \begin{pmatrix}A v_1 & A v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 v_1 & -2 v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 6 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}.
Multiplicando por P^{-1}:
P^{-1} A P = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] -2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 6 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}.
Façamos o produto interno (sem o fator 1/3 primeiro):
\begin{pmatrix} 1\cdot(-3)+3\cdot 2 & 1\cdot 6 +3\cdot(-2)\\[6pt] -2\cdot(-3)+(-3)\cdot 2 & -2\cdot 6 +(-3)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & -6\end{pmatrix}.
Dividindo por 3 obtemos
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
Portanto a matriz diagonal com os autovalores na diagonal é D=\mathrm{diag}(1,-2), na ordem escolhida.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}-3 & -3 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
P^{-1} A P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}]

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