Seja F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
e) H o F o G

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a transformação linear
T = H circ F circ G
em R^2, onde
F(x,y)=(x,2y), G(x,y)=(y,x+y), H(x,y)=(0,x)
Precisamos encontrar a fórmula de T, seu núcleo, sua imagem, bases e dimensões desses subespaços, e verificar se T é inversível.

Passo 2

Para compor T(x,y)=Hl(F(G(x,y))r) calculamos passo a passo:
G(x,y)=(y,x+y),
Fl(G(x,y)r)=F(y,x+y)=(y,2(x+y))=(y,2x+2y),
Hl(F(G(x,y))r)=H(y,2x+2y)=(0,y)
Portanto
T(x,y)=(Hcirc Fcirc G)(x,y)=(0,y)

Passo 3

Para achar ker(T) resolvemos
T(x,y)=(0,y)=(0,0),Longrightarrow,y=0
Logo
ker(T)=(x,0)mid xinR =span(1,0),
com dimker(T)=1.

Passo 4

A imagem de T é o conjunto de todos os vetores (0,y), isto é,
Im(T)=(0,y)mid yinR =span(0,1),
com dimIm(T)=1.

Passo 5

Como ker(T)neq0 e dimIm(T)=1<2, T não é injetora nem sobrejetora. Portanto T não possui inversa.

Resposta

(Hcirc Fcirc G)(x,y)=(0,y)
ker(Hcirc Fcirc G)=span(1,0), dimker=1
Im(Hcirc Fcirc G)=span(0,1), dimIm=1
A transformação não é inversível.

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