Seja F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
a) F+H

Passo 1

O enunciado define as transformações lineares F,G,HcolonR^2toR^2 por
F(x,y)=(x,2y), G(x,y)=(y,x+y), H(x,y)=(0,x),
e pede para T=F+H o núcleo, a imagem, bases e dimensões desses subespaços, e a inversa de T, se existir. Vamos usar conceitos de posto e nulidade e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Calcular T(x,y)=F(x,y)+H(x,y):
T(x,y)=(x,2y)+(0,x)=(x,;x+2y)
Na base canônica, T(e1)=T(1,0)=(1,1) e T(e2)=T(0,1)=(0,2), logo a matriz de T é
A=1 & 01 & 2

Passo 3

Encontrar o núcleo resolvendo
que dá . Assim
dimensão e a base do núcleo é a base trivial (conjunto vazio).

Passo 4

A imagem é o espaço gerado pelas colunas de :
Como , esses vetores são independentes e portanto
dimensão e uma base é .

Passo 5

Pelo teorema da dimensão, ker(T)=0 e Im(T)=R^2 implicam que T é bijetiva, logo inversível. Para achar T^-1, resolvemos
(u,v)=T(x,y)=(x,x+2y)
Da primeira equação vem x=u. Substituindo na segunda, u+2y=v y=(v-u)/2. Logo
T^-1(u,v)=l(u,tfracv-u2r)

Resposta

ker(F+H)=(0,0), dimker(F+H)=0, base=emptyset
Im(F+H)=R^2, dimIm(F+H)=2, base=(1,1),(0,2)
(F+H)^-1(x,y)=l(x,,(y-x)/2r)

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