Seja
definidos por
, determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
a)
a)
Passo 1
O enunciado define as transformações lineares
por
e pede para
o núcleo, a imagem, bases e dimensões desses subespaços, e a inversa de
, se existir. Vamos usar conceitos de posto e nulidade e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Calcular
:
Na base canônica,
e
, logo a matriz de
é
Passo 3
Encontrar o núcleo resolvendo
que dá . Assim
dimensão e a base do núcleo é a base trivial (conjunto vazio).
Passo 4
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de
:
Como
, esses vetores são independentes e portanto
dimensão e uma base é
.
Passo 5
Pelo teorema da dimensão,
e
implicam que
é bijetiva, logo inversível. Para achar
, resolvemos
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda,
dá
. Logo