conseguimos obter qualquer matriz triangular superior de ordem 3. Denotemos por UT_{3} o espaço (vetorial) de todas as matrizes triangulares superiores 3\times 3. Sabemos que \dim \mathrm{UT}_{3}=6. Vamos mostrar que o subespaço (de fato sub-álgebra) gerado por M_{1},M_{2},M_{3} tem dimensão 6, logo coincide com UT_{3}.
estão todos no sub-álgebra \mathcal A gerado por M_{2},M_{3}.
Passo 4
Mostramos agora que estas seis matrizes são linearmente independentes em U[T_{3}). Para isso, escrevamos as coordenadas de cada uma no escalar para as entradas (1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3). Obtemos a seguinte tabela de coordenadas (cada linha é uma das matrizes listadas):
cuja diferença dá c_{1}+5c_{2}=0\]. Igualando em \[(1,1) vem
c_{0}+c_{1}+c_{2}=0.
Dessas três equações segue c_{0}=c_{1}=c_{2}=0.
Depois igualamos a (1,2),(1,3),(2,3), onde só aparecem M_{2},M_{3}M_{2},M_{2}M_{3}. Isso gera o sistema
cuja única solução é c_{3}=c_{4}=c_{5}=0\]. Assim todos os \(c_i=0 e as seis matrizes são independentes.
Passo 5
Concluímos que \mathcal A contém seis matrizes linearmente independentes em UT_{3}, logo \dim\mathcal A\ge6. Mas como UT_{3} tem dimensão exata 6, segue \mathcal A=\mathrm{UT}_{3}. Portanto, usando somas e produtos de M_{1},M_{2},M_{3} obtemos qualquer matriz triangular superior de ordem 3.
Resposta
As matrizes M_{1},M_{2},M_{3} geram (como sub-álgebra) todo o espaço das matrizes triangulares superiores de ordem 3.