Resolva a equação diferencial usando variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogeneia de segunda ordem
usando o método de variação dos parâmetros. Vamos precisar primeiro da solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a técnica de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Para achar a solução da homogênea, escrevemos a equação característica:
que tem raiz dupla . Logo as soluções fundamentais são
Passo 3
Calculamos o Wronskiano das soluções e :
Passo 4
Na variação dos parâmetros definimos funções u1(x) e u2(x) tais que
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W,
onde f(x)=e^2x é o termo não homogeneo dividido pelo coeficiente de y'', que aqui é 1. Então u1' = -e^2x,(x e^x)e^2x = -x e^x, u2' = e^2x,(e^x)e^2x = e^x