Resolva a equação diferencial usando variação dos parâmetros.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogeneia de segunda ordem
y'' - 2y' + y = e^2x,
usando o método de variação dos parâmetros. Vamos precisar primeiro da solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a técnica de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Para achar a solução da homogênea, escrevemos a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0 ,Longrightarrow, (r - 1)^2 = 0,
que tem raiz dupla r=1. Logo as soluções fundamentais são
y1(x) = e^x, y2(x) = x e^x

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções y1 e y2:
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^x & x e^x e^x & (x+1)e^x = e^xcdot (x+1)e^x - e^xcdot x e^x = e^2x

Passo 4

Na variação dos parâmetros definimos funções u1(x) e u2(x) tais que
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W,
onde f(x)=e^2x é o termo não homogeneo dividido pelo coeficiente de y'', que aqui é 1. Então
u1' = -e^2x,(x e^x)e^2x = -x e^x, u2' = e^2x,(e^x)e^2x = e^x

Passo 5

Agora integramos para achar u1 e u2:
u1(x) = -integral x e^x ,dx = -l(x e^x - e^xr) = -x e^x + e^x,
u2(x) = integral e^x ,dx = e^x

Passo 6

A solução particular é
$$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = \bigl(-x e^x + ex\bigr)ex + e^x \cdot (x e^x).
yp = u1 y1 + u2 y2 = l(-x e^x + e^xr)e^x + e^x cdot (x e^x) y_p = -x e^{2x} + e^{2x} + x e^{2x} = e^{2x}.$$
Portanto, a solução geral da não homogenea é
yp = -x e^2x + e^2x + x e^2x = e^2x

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e{x}+e{2x}

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