Determinar se cada um dos seguintes sinais em tempo contínuo
ou discreto
é periódico e, caso seja, determinar seu período fundamental. No item d), calcular a potência, se for o caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o sinal discreto $ x(k) = (-1)^{k} $ é periódico. Se for, precisamos achar o período fundamental dele. Além disso, o item d) também pede para calcular a potência do sinal, se aplicável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos em tempo discreto e fórmulas para encontrar o período e a potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sinal ser periódico. Em termos simples, um sinal é periódico se ele se repete depois de certo número de passos (ou amostras). No contexto de sinais discretos, como o $ x(k) $, isso significa que existe um número inteiro positivo $ N $ tal que:
O menor valor de $ N $ que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental do sinal.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o sinal $ x(k) = (-1)^{k} $ é periódico. Para isso, precisamos encontrar se existe um $ N $ que satisfaça $ x(k + N) = x(k) $.
Vamos testar com $ N = 2 $:
Então, para $ N = 2 $, a igualdade se mantém para todo $ k $. Isso significa que o sinal se repete a cada 2 passos.
Passo 4
Temos que ver se existe um $ N $ menor que 2 que também satisfaça a condição. Vamos testar com $ N = 1 $:
Como a igualdade não se mantém para $ N = 1 $, concluímos que o menor período que satisfaz a condição é $ N = 2 $.
Passo 5
Agora que sabemos que o sinal é periódico com período fundamental $ N = 2 $, vamos calcular a potência do sinal. A potência média $ P $ de um sinal periódico em tempo discreto é dada por:
Substituindo $ N = 2 $ e $ x(k) = (-1)^{k} $:
Então,
Resposta
O sinal $ x(k) = (-1)^{k} $ é periódico com período fundamental $ N = 2 $ e a potência do sinal é $ P = 1 $.