Encontre a solução de cada PVI:
ly^(3)-2 y^prime=4 t y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI: y^(3) - 2y' = 4t com as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=4. É uma EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes; vamos usar a soma da solução geral da homogênea mais uma particular, e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz a equação característica
r^3 - 2r = 0
que fatorando dá r(r^2 - 2)=0, logo r=0, pmraiz2. Assim
yh(t) = C1 + C2 e^raiz2t + C3 e^-raiz2t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp para o termo não homogêneo 4t, fazemos o palpite polinomial de grau 2:
yp(t) = a t^2 + b t + c

Passo 4

Calculamos as derivadas
yp' = 2a t + b, yp'' = 2a, yp''' = 0,
e substituímos na EDO:
0 - 2(2a t + b) = 4t Longrightarrow -4a t - 2b = 4t

Passo 5

Comparando coeficientes de t e constantes, obtemos
-4a = 4 implies a = -1, -2b = 0 implies b = 0
Logo podemos tomar yp(t) = -t^2 (a constante c vai para C1 da homogênea).

Passo 6

A solução geral é então
y(t) = C1 + C2 e^raiz2t + C3 e^-raiz2t - t^2

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais.
Para y(0)=0:
C1 + C2 + C3 = 0

Passo 8

Para y'(t) = C2raiz2 e^raiz2t - C3raiz2 e^-raiz2t - 2t, temos y'(0)=0 dando
raiz2(C2 - C3) = 0 implies C2 = C3

Passo 9

Para y''(t) = 2C2 e^raiz2t + 2C3 e^-raiz2t - 2, a condição y''(0)=4
2C2 + 2C3 - 2 = 4 implies C2 + C3 = 3

Passo 10

Combinando C2=C3 resulta 2C2=3, então C2=C3=3/2. E de C1 + C2 + C3=0 vem C1 = -3.

Resposta

y(t) = -3 + tfrac32e^raiz2t + tfrac32e^-raiz2t - t^2, que também pode ser escrita como y(t)=3cosh(raiz2t)-3 - t^2.

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