Encontre a solução de cada PVI:
ly^prime+3 y=18 t y(0)=5

Passo 1

O problema é resolver o PVI
y'+3y=18t, y(0)=5,
Trata-se de uma EDO linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante para obter a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

O coeficiente de y é 3, então o fator integrante é
mu(t)=e^integral 3,dt=e^3t
Multiplicando a equação original por e^3t temos
e^3ty'+3e^3ty=18t e^3t,
o que equivale a
ddtl(y e^3tr)=18t e^3t
Isso vem da propriedade de EDOs lineares que transforma o lado esquerdo em derivada de produto.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
y e^3t=integral 18t e^3t,dt + C
Para calcular integral 18t e^3tdt, usamos integração por partes: seja u=t e dv=18e^3tdt, então du=dt e v=6e^3t. Logo
integral 18t e^3tdt=6t e^3t-6integral e^3tdt=6t e^3t-2e^3t + tilde C
Substituindo,
y e^3t=(6t-2)e^3t+C

Passo 4

Dividindo por e^3t para isolar y obtemos a solução geral:
y(t)=6t-2+Ce^-3t
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=5:
y(0)=0-2+C=5 implies C=7

Passo 5

Portanto, a solução do PVI é
y(t)=6t-2+7e^-3t

Resposta

y(t)=6t-2+7e^{-3t}

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