Determinar o centro de gravidade dum sólido homogéneo
,
.
Passo 1
O enunciado pede determinar o centro de gravidade (centro de massa, para densidade homogênea) do sólido homogêneo de densidade
definido por
As informações relevantes que temos:
- O corpo é a porção do elipsoide
situada no primeiro octante ( ). - A densidade é uniforme e igual a 1, então o centro de gravidade é o centro de massa geométrico: as coordenadas são médias das posições, com peso igual ao volume.
- O que se pede é encontrar
, onde cada coordenada é dada por uma integral do tipo média espacial.
Passo 2
Fórmulas para o centro de massa (explicando cada símbolo):
- O volume do sólido é
. - A coordenada
do centro de massa é
Aqui
é a coordenada
do centro de massa;
é a soma (integral) de todas as posições
ponderadas por elementos de volume;
normaliza para obter a média. De modo análogo,
Passo 3
Calcular o volume
. Uma forma prática é usar a transformação linear que leva o elipsoide unitário (esfera unitária) ao elipsoide dado:
onde
varia na bola unitária
e, restringindo ao primeiro octante, temos
.
O jacobiano dessa transformação é , ou seja
.
O volume do primeiro octante da bola unitária é do volume da esfera unitária. O volume da esfera unitária em
é
. Logo
O jacobiano dessa transformação é
O volume do primeiro octante da bola unitária é
Observação: isto coincide com a fórmula conhecida do volume do elipsoide completo
dividido por
.
Passo 4
Calcular o numerador
usando a mesma mudança de variáveis. Substituindo
e
, obtemos
onde definimos a integral geométrica adimensional
Ou seja, precisamos calcular
, que é a integral de
sobre o primeiro octante da bola unitária.
Passo 5
Calcular
em coordenadas esféricas (explicando cada escolha):
- Usamos coordenadas esféricas usuais:
, , . - Aqui
é a distância radial, é o ângulo polar medido a partir do eixo (porque estamos no primeiro octante, vai até ), e é o ângulo azimutal no plano - . - O elemento de volume vale
.
Substituindo na expressão de:
Agora separamos as variáveis (produto de integrais):
Calcule cada integral:
-
-
-
(fórmula padrão: média de no intervalo dá ; pode derivar usando identidade ).
Multiplicando,
Passo 6
Voltar ao numerador e obter
. Lembrando que
e que o volume é
, então
Explicação por simetria: como a região é obtida aplicando escala diferente em cada eixo a uma região simétrica (o primeiro octante da bola), o mesmo cálculo dá, por troca de papéis, que
Passo 7
Resumo final e comentário prático (um empurrãozinho motivador):
- O centro de gravidade do primeiro octante do elipsoide está no ponto
. - Intuição: para o elipsoide inteiro o centro é a origem por simetria; ao tomar apenas o primeiro octante, o centro de massa desloca-se para dentro do octante e fica a
do semi-eixo em cada direção — número que aparece frequentemente para médias em porções ortantais de corpos quadric.
Vai dar certo na prova — respira fundo e pratica outra parecida.