Determinar o centro de gravidade dum sólido homogéneo (\rho(x, y, z)=1),
V=\left\{(x, y, z): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{x^{2}}{c^{2}} \leq 1 \wedge(x, y, z) \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede determinar o centro de gravidade (centro de massa, para densidade homogênea) do sólido homogêneo de densidade \rho(x,y,z)=1 definido por
V=\{(x,y,z)\mid \tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}+\tfrac{z^{2}}{c^{2}}\le 1 \text{ e } x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\}.
As informações relevantes que temos:
  • O corpo é a porção do elipsoide \tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}+\tfrac{z^{2}}{c^{2}}\le 1 situada no primeiro octante ( x,y,z\ge0).
  • A densidade é uniforme e igual a 1, então o centro de gravidade é o centro de massa geométrico: as coordenadas são médias das posições, com peso igual ao volume.
  • O que se pede é encontrar (\bar x,\bar y,\bar z), onde cada coordenada é dada por uma integral do tipo média espacial.

Passo 2

Fórmulas para o centro de massa (explicando cada símbolo):
  • O volume do sólido é V_{\text{tot}}=\displaystyle\iiint_{V} dV.
  • A coordenada x do centro de massa é
\bar x=\frac{1}{V_{\text{tot}}}\iiint_{V} x\,dV.
Aqui \bar x é a coordenada x do centro de massa; \iiint_{V} x\,dV é a soma (integral) de todas as posições x ponderadas por elementos de volume; V_{\text{tot}} normaliza para obter a média. De modo análogo,
\bar y=\frac{1}{V_{\text{tot}}}\iiint_{V} y\,dV,\qquad \bar z=\frac{1}{V_{\text{tot}}}\iiint_{V} z\,dV.

Passo 3

Calcular o volume V_{\text{tot}}. Uma forma prática é usar a transformação linear que leva o elipsoide unitário (esfera unitária) ao elipsoide dado:
x=a u,\qquad y=b v,\qquad z=c w,
onde (u,v,w) varia na bola unitária \{u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1\} e, restringindo ao primeiro octante, temos u,v,w\ge0.
O jacobiano dessa transformação é |J|=abc, ou seja dV = abc\,du\,dv\,dw.
O volume do primeiro octante da bola unitária é \tfrac{1}{8} do volume da esfera unitária. O volume da esfera unitária em \mathbb{R}^{3} é \tfrac{4}{3}\pi. Logo
V_{\text{tot}}=abc\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi abc.
Observação: isto coincide com a fórmula conhecida do volume do elipsoide completo \tfrac{4}{3}\pi abc dividido por 8.

Passo 4

Calcular o numerador \displaystyle\iiint_{V} x\,dV usando a mesma mudança de variáveis. Substituindo x=a u e dV=abc\,du\,dv\,dw, obtemos
\iiint_{V} x\,dV = \iiint_{\substack{u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1\u,v,w\ge0}} (a u)\,(abc)\,du\,dv\,dw = a^{2} b c \;I,
onde definimos a integral geométrica adimensional
I=\iiint_{\substack{u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1\u,v,w\ge0}} u\,du\,dv\,dw.
Ou seja, precisamos calcular I, que é a integral de u sobre o primeiro octante da bola unitária.

Passo 5

Calcular I em coordenadas esféricas (explicando cada escolha):
  • Usamos coordenadas esféricas usuais: u=r\sin\theta\cos\varphi, v=r\sin\theta\sin\varphi, w=r\cos\theta.
  • Aqui r\in[0,1] é a distância radial, \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] é o ângulo polar medido a partir do eixo w (porque estamos no primeiro octante, \theta vai até \tfrac{\pi}{2}), e \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] é o ângulo azimutal no plano u- v.
  • O elemento de volume vale du\,dv\,dw = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
    Substituindo na expressão de I:
I=\int_{r=0}^{1}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2} \big(r\sin\theta\cos\varphi\big)\;r^{2}\sin\theta\;d\varphi\,d\theta\,dr.
Agora separamos as variáveis (produto de integrais):
I=\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right) \left(\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta\,d\theta\right) \left(\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\,d\varphi\right).
Calcule cada integral:
  • \displaystyle\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\left[\tfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{4}.
  • \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\,d\varphi=\left[\sin\varphi\right]_{0}^{\pi/2}=1.
  • \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta\,d\theta=\tfrac{\pi}{4} (fórmula padrão: média de \sin^{2} no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] \tfrac{\pi}{4}; pode derivar usando identidade \sin^{2}\theta=\tfrac{1-\cos 2\theta}{2}).
    Multiplicando,
I=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{4}\cdot 1 = \frac{\pi}{16}.

Passo 6

Voltar ao numerador e obter \bar x. Lembrando que
\iiint_{V} x\,dV = a^{2} b c \, I = a^{2} b c \cdot \frac{\pi}{16},
e que o volume é V_{\text{tot}}=\dfrac{1}{6}\pi abc, então
\bar x=\frac{\iiint_{V} x\,dV}{V_{\text{tot}}} = \frac{a^{2} b c \cdot \dfrac{\pi}{16}}{\dfrac{1}{6}\pi a b c} = a\cdot\frac{6}{16}=a\cdot\frac{3}{8}=\frac{3a}{8}.
Explicação por simetria: como a região é obtida aplicando escala diferente em cada eixo a uma região simétrica (o primeiro octante da bola), o mesmo cálculo dá, por troca de papéis, que
\bar y=\frac{3b}{8},\qquad \bar z=\frac{3c}{8}.

Passo 7

Resumo final e comentário prático (um empurrãozinho motivador):
  • O centro de gravidade do primeiro octante do elipsoide está no ponto \big(\tfrac{3a}{8},\tfrac{3b}{8},\tfrac{3c}{8}\big).
  • Intuição: para o elipsoide inteiro o centro é a origem por simetria; ao tomar apenas o primeiro octante, o centro de massa desloca-se para dentro do octante e fica a 3/8 do semi-eixo em cada direção — número que aparece frequentemente para médias em porções ortantais de corpos quadric.
    Vai dar certo na prova — respira fundo e pratica outra parecida.

Resposta

\displaystyle \bar x=\frac{3a}{8},\quad \bar y=\frac{3b}{8},\quad \bar z=\frac{3c}{8}

Exercícios relacionados