Prove que o triângulo cujos vértices são \mathrm{A}(2,2), \mathrm{B}(-4,-6), \mathrm{C}(4,-12) é retângulo.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo e pede para provar que ele é retângulo. As informações fornecidas são:
  • Vértice A tem coordenadas (2,2).
  • Vértice B tem coordenadas (-4,-6).
  • Vértice C tem coordenadas (4,-12).
O que precisa ser provado:
  • Mostrar que o triângulo com vértices A(2,2), B(-4,-6) e C(4,-12) possui um ângulo reto (ou seja, é um triângulo retângulo).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
  • Uma forma simples e direta de provar que um ângulo entre dois lados é reto no plano cartesiano é usar o produto escalar (dot product) dos vetores que representam esses lados. Vou explicar o conceito com calma.
  • Definição do produto escalar em \mathbb{R}^2: para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2) define-se
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
  • Propriedade útil: geometricamente, \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Assim, \vec{u}\cdot\vec{v}=0 se, e somente se, \cos\theta=0, ou seja, se \theta=90^\circ — os vetores são perpendiculares.
  • Exemplo rápido para fixar: (1,0) e (0,1) têm produto escalar (1)\cdot(0)+(0)\cdot(1)=0, logo são perpendiculares (faz sentido: eixos x e y).
  • Vou aplicar isso aos vetores formados pelos lados do triângulo, escolhendo vetores que compartilhem o mesmo vértice (para testar se o ângulo nesse vértice é reto).

Passo 3

Formar os vetores a partir das coordenadas (explicando como calcular componentes).
  • Regra para obter o vetor que vai de um ponto P(x_1,y_1) para um ponto Q(x_2,y_2): \vec{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1). É só subtrair componente a componente.
  • Vou usar o vértice B como possível ângulo reto e calcular os vetores \vec{BA} e \vec{BC} (ambos com origem em B).
  • Calculando \vec{BA}:
\vec{BA}=A-B=(2-(-4),\;2-(-6))=(6,\;8).
  • Calculando \vec{BC}:
\vec{BC}=C-B=(4-(-4),\;-12-(-6))=(8,\;-6).

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{BA}\cdot\vec{BC} e interpretar o resultado.
  • Usando a fórmula \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2, temos
\vec{BA}\cdot\vec{BC}=6\cdot8 + 8\cdot(-6).
  • Fazer as multiplicações e a soma (passo a passo):
6\cdot8=48,\qquad 8\cdot(-6)=-48,
logo
\vec{BA}\cdot\vec{BC}=48+(-48)=0.
  • Como o produto escalar é zero, isso significa que os vetores \vec{BA} e \vec{BC} são perpendiculares, ou seja, o ângulo no vértice B é um ângulo reto.

Passo 5

Interpretação final e verificação alternativa (Pitagoras) — reforço didático.
  • A conclusão do passo anterior já prova que o triângulo é retângulo: há um ângulo reto em B.
  • Para reforçar (e porque é útil em provas conhecer outra maneira), podemos checar via comprimentos (Pitagoras). Primeiro calculamos os quadrados dos comprimentos dos lados:
    • Comprimento ao quadrado de \overline{AB}: como \vec{BA}=(6,8),
    |\overline{AB}|^2=\|\vec{BA}\|^2=6^2+8^2=36+64=100.
    • Comprimento ao quadrado de \overline{BC}: como \vec{BC}=(8,-6),
    |\overline{BC}|^2=\|\vec{BC}\|^2=8^2+(-6)^2=64+36=100.
    • Comprimento ao quadrado de \overline{AC}: vetor \vec{AC}=C-A=(4-2,\;-12-2)=(2,-14), então
    |\overline{AC}|^2=\|\vec{AC}\|^2=2^2+(-14)^2=4+196=200.
  • Verificação de Pitágoras:
|\overline{AB}|^2 + |\overline{BC}|^2 = 100 + 100 = 200 = |\overline{AC}|^2.
  • Isso mostra que \overline{AC} é a hipotenusa e que o ângulo entre \overline{AB} e \overline{BC} (vértice B) é reto. A verificação por Pitágoras concorda com o teste do produto escalar.

Resposta

O triângulo é retângulo em B.

Exercícios relacionados