(a) Com que velocidade uma bola deve ser jogada verticalmente para cima para atingir uma altura máxima de 53.7 m ? (b) Por quanto tempo a bola estará no ar?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Com que velocidade inicial uma bola deve ser lançada verticalmente para cima para que atinja uma altura máxima de \,53,7\\ \text{m}\,.
  • (b) Por quanto tempo a bola ficará no ar (tempo total do lançamento até cair de volta ao ponto de partida)?
Informações dadas e suposições que vou usar (peguei o valor da altura do enunciado):
  • Altura máxima: \,h=53,7\\ \text{m}.
  • Vou desprezar a resistência do ar e assumir aceleração constante devido à gravidade, com módulo \,g=9,8\\ \text{m/s}^2 (direção para baixo).
  • Convenção de sinais: tomo a direção para cima como positiva. A bola é lançada do solo (ou de uma referência) com velocidade inicial \,v_0 para cima e atinge a altura máxima \,h quando sua velocidade instantânea é zero.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (uma pequena aula): para movimento retilíneo com aceleração constante vale a equação cinemática que relaciona velocidades e deslocamento sem envolver o tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 a\,\Delta y.
Explicando cada símbolo:
  • v é a velocidade no instante final considerado.
  • v_0 é a velocidade inicial.
  • a é a aceleração (no nosso caso a=-g porque a gravidade aponta para baixo e escolhemos cima como positiva).
  • \Delta y é o deslocamento vertical (a diferença entre posição final e inicial).
Essa fórmula é muito útil porque permite achar v_0 sabendo um deslocamento e as velocidades nos extremos, sem precisar integrar no tempo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao ponto de altura máxima: no topo a velocidade instantânea é zero, então substituímos v=0, a=-g e \Delta y=h:
0 = v_0^2 + 2(-g)\,h \quad\Rightarrow\quad 0 = v_0^2 - 2gh.
Isolando v_0:
v_0^2 = 2gh \quad\Rightarrow\quad v_0 = \sqrt{2gh}.
Observação didática: o sinal positivo da raiz é o que importa porque v_0 é o módulo da velocidade inicial (a direção “para cima” já foi fixada).

Passo 4

Calcular numericamente v_0 passo a passo (sem pular contas):
  • Primeiro calcule 2g: \,2g = 2\cdot 9,8 = 19,6.
  • Depois multiplique por h: \,19,6\cdot 53,7. Faço a multiplicação em partes: 19,6\cdot 53,7 = 19,6\cdot(50 + 3,7) = 19,6\cdot 50 + 19,6\cdot 3,7.
19,6\cdot 50 = 980,\qquad 19,6\cdot 3,7 = 72,52,
\text{logo }19,6\cdot 53,7 = 980 + 72,52 = 1052,52.
  • Agora a raiz quadrada: v_0 = \sqrt{1052,52}\approx 32,45\\ \text{m/s}.
Breve explicação da aproximação: \,32,45^2 dá valor muito próximo a 1052,52, então arredondamos v_0 para duas casas decimais como \,32,45\\ \text{m/s}. Esse é o valor da velocidade inicial rumo ao alto.

Passo 5

Agora calculamos o tempo de subida até a altura máxima (ou seja, o tempo que leva desde o lançamento até a velocidade virar zero). Usamos a equação da velocidade em função do tempo para aceleração constante:
v = v_0 + a t.
No topo v=0 e a=-g, então
0 = v_0 - g\,t_{\text{subida}} \quad\Rightarrow\quad t_{\text{subida}} = \frac{v_0}{g}.
Explicando: essa fórmula vem de integrar a aceleração constante (velocidade muda linearmente no tempo). Como a subida e a descida são simétricas (sem resistência do ar), o tempo total no ar é o dobro do tempo de subida.

Passo 6

Calcular numericamente t_{\text{subida}} e o tempo total:
  • Substituindo v_0 e g: t_{\text{subida}} = \frac{32,45}{9,8}\\ \text{s}\approx 3,31\\ \text{s}.
  • Tempo total no ar: t_{\text{total}} = 2\,t_{\text{subida}} \approx 2\cdot 3,31 = 6,62\\ \text{s}.
Interpretação rápida: a bola leva cerca de 3,31\\ \text{s} para subir até 53,7\\ \text{m} e outros 3,31\\ \text{s} para voltar ao ponto de partida.

Resposta

(a) v_0 = 32,45\\ \text{m/s} (para cima)
(b) t_{\text{total}} = 6,62\\ \text{s}

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