(a) Com que velocidade uma bola deve ser jogada verticalmente para cima para atingir uma altura máxima de 53.7 m ? (b) Por quanto tempo a bola estará no ar?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Com que velocidade inicial uma bola deve ser lançada verticalmente para cima para que atinja uma altura máxima de
. - (b) Por quanto tempo a bola ficará no ar (tempo total do lançamento até cair de volta ao ponto de partida)?
Informações dadas e suposições que vou usar (peguei o valor da altura do enunciado):
- Altura máxima:
. - Vou desprezar a resistência do ar e assumir aceleração constante devido à gravidade, com módulo
(direção para baixo). - Convenção de sinais: tomo a direção para cima como positiva. A bola é lançada do solo (ou de uma referência) com velocidade inicial
para cima e atinge a altura máxima quando sua velocidade instantânea é zero.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (uma pequena aula): para movimento retilíneo com aceleração constante vale a equação cinemática que relaciona velocidades e deslocamento sem envolver o tempo:
Explicando cada símbolo:
-
é a velocidade no instante final considerado. -
é a velocidade inicial. -
é a aceleração (no nosso caso porque a gravidade aponta para baixo e escolhemos cima como positiva). -
é o deslocamento vertical (a diferença entre posição final e inicial).
Essa fórmula é muito útil porque permite achar
sabendo um deslocamento e as velocidades nos extremos, sem precisar integrar no tempo.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao ponto de altura máxima: no topo a velocidade instantânea é zero, então substituímos
,
e
:
Isolando
:
Observação didática: o sinal positivo da raiz é o que importa porque
é o módulo da velocidade inicial (a direção “para cima” já foi fixada).
Passo 4
Calcular numericamente
passo a passo (sem pular contas):
- Primeiro calcule
: . - Depois multiplique por
: . Faço a multiplicação em partes:
- Agora a raiz quadrada:
Breve explicação da aproximação:
dá valor muito próximo a
, então arredondamos
para duas casas decimais como
. Esse é o valor da velocidade inicial rumo ao alto.
Passo 5
Agora calculamos o tempo de subida até a altura máxima (ou seja, o tempo que leva desde o lançamento até a velocidade virar zero). Usamos a equação da velocidade em função do tempo para aceleração constante:
No topo
e
, então
Explicando: essa fórmula vem de integrar a aceleração constante (velocidade muda linearmente no tempo). Como a subida e a descida são simétricas (sem resistência do ar), o tempo total no ar é o dobro do tempo de subida.
Passo 6
Calcular numericamente
e o tempo total:
- Substituindo
e : - Tempo total no ar:
Interpretação rápida: a bola leva cerca de
para subir até
e outros
para voltar ao ponto de partida.
Resposta
(a)
(para cima)
(b)
(b)