Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências e depois escrever uma equação vetorial para cada uma.
(a) x^2+y^2-2 x+5 y-3=0
(b) x^2+y^2-6 x+8 y=0
© x^2+y^2+5 y-2=0

Passo 1

A ideia geral é transformar cada equação geral de circunferência em forma padrão completando quadrados, assim identificamos o centro (h,k) e o raio r. Em seguida escrevemos a equação vetorial parametrizada no formato vec r=lang<= h,krang<= + r(cos t,sin t).

Passo 2

Para (a) começamos com
x^2+y^2-2x+5y-3=0
Agrupando termos de x e y:
x^2-2x + y^2+5y =3
Completamos quadrados: x^2-2x+1=(x-1)^2 e y^2+5y+tfrac254=(y+tfrac52)^2. Logo,
(x-1)^2-1 + (y+tfrac52)^2-tfrac254 =3
Reorganizando constantes:
(x-1)^2 + (y+tfrac52)^2 = 3 +1 + tfrac254 = tfrac414
Assim o centro é (1,-tfrac52) e o raio é tfracraiz412. A equação vetorial fica
vec r = lang<=1,-tfrac52rang<= + tfracraiz412(cos t,sin t)

Passo 3

Para (b) partimos de
x^2+y^2-6x+8y=0
Agrupando e completando quadrados: x^2-6x+9=(x-3)^2 e y^2+8y+16=(y+4)^2. Obtemos
(x-3)^2-9 + (y+4)^2-16 =0
Logo
(x-3)^2 + (y+4)^2 =25
O centro é (3,-4) e o raio 5. A equação vetorial é
vec r = lang<=3,-4rang<= + 5(cos t,sin t)

Passo 4

Para © começamos com
x^2+y^2+5y-2=0
Como não há termo em x, mantemos x^2. No y: y^2+5y+tfrac254=(y+tfrac52)^2. Assim
x^2 + (y+tfrac52)^2 -tfrac254 -2 =0
Logo
x^2 + (y+tfrac52)^2 = tfrac254 +2 = tfrac334
O centro é (0,-tfrac52) e o raio é tfracraiz332. A equação vetorial final é
vec r = lang<=0,-tfrac52rang<= + tfracraiz332(cos t,sin t)

Resposta

(a) centro (1,-tfrac52), raio tfracraiz412;
vec r = lang<=1,-tfrac52rang<= + tfracraiz412(cos t,sin t)
(b) centro (3,-4), raio 5;
vec r = lang<=3,-4rang<= + 5(cos t,sin t)
© centro (0,-tfrac52), raio tfracraiz332;
vec r = lang<=0,-tfrac52rang<= + tfracraiz332(cos t,sin t)

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