Mostre que a aproximação linear da função f(x, y)=2 x+34 y+1 é dada por
L(x, y)=3+2 x-12 y

Passo 1

A questão pede a aproximação linear (linearização) da função f(x,y)=\frac{2x+3}{4y+1} em torno do ponto (0,0). Isso envolve cálculo de derivadas parciais e uso da fórmula de Taylor de primeira ordem para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, avaliamos o valor de f no ponto (0,0):
f(0,0)=2cdot0+34cdot0+1=3

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(2x+34y+1r)=24y+1,
fy(x,y)=partialpartial yl(2x+34y+1r)=-4(2x+3)(4y+1)^2
Em seguida, avaliamos essas derivadas em (0,0): f_x(0,0)=2 e f_y(0,0)=-12.

Passo 4

Finalmente, aplicamos a fórmula da aproximação linear em (0,0):
L(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),(x-0)+fy(0,0),(y-0)=3+2x-12y

Resposta

L(x, y) = 3 + 2x - 12y

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