Sejam a, b in R e seja f a função definida por:
f(x)=cc x^2-x+4, & se x <= 2 b-a x, & se x>2
Determine os valores de a e b para que f seja:
diferenciável.

Passo 1

Temos uma função por partes envolvendo dois ramos com quebra em x=2, e queremos que ela seja diferenciável em x=2. Para isso, precisamos garantir duas coisas: continuidade em x=2 e coincidência das derivadas laterais em x=2.

Passo 2

Para a continuidade em x=2, igualamos o valor do ramo à esquerda em x=2 com o valor do ramo à direita em x=2. O ramo à esquerda dá f(2)=2^2-2+4=6, e o ramo à direita em x=2 é b-a·2. Logo,
b-2a=6

Passo 3

Agora vamos às derivadas laterais em x=2. A derivada do ramo à esquerda f(x)=x^2-x+4 é f’(x)=2x-1, então f’(2^-) = 2·2-1=3. A derivada do ramo à direita f(x)=b-ax é f’(x)=-a, logo f’(2^+)= -a. Para diferenciabilidade,
-a=3

Passo 4

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações: de -a=3 vem a=-3. Substituindo em b-2a=6 temos b-2(-3)=6 ⇒ b+6=6 ⇒ b=0.

Resposta

a = -3, b = 0

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