Sejam
e seja
a função definida por:
Determine os valores de
e
para que
seja:
diferenciável.
diferenciável.
Passo 1
Temos uma função por partes envolvendo dois ramos com quebra em x=2, e queremos que ela seja diferenciável em x=2. Para isso, precisamos garantir duas coisas: continuidade em x=2 e coincidência das derivadas laterais em x=2.
Passo 2
Para a continuidade em x=2, igualamos o valor do ramo à esquerda em x=2 com o valor do ramo à direita em x=2. O ramo à esquerda dá f(2)=2^2-2+4=6, e o ramo à direita em x=2 é b-a·2. Logo,
Passo 3
Agora vamos às derivadas laterais em x=2. A derivada do ramo à esquerda f(x)=x^2-x+4 é f’(x)=2x-1, então f’(2^-) = 2·2-1=3. A derivada do ramo à direita f(x)=b-ax é f’(x)=-a, logo f’(2^+)= -a. Para diferenciabilidade,
Passo 4
Resolvendo o sistema formado pelas duas equações: de -a=3 vem a=-3. Substituindo em b-2a=6 temos b-2(-3)=6 ⇒ b+6=6 ⇒ b=0.
Resposta
a = -3, b = 0