Determinar e classificar todos os pontos extremos da função z=f(x, y)=(x-y)^6+(y-2)^2. Note que o teorema dado em sala de aula não se aplica.

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar todos os pontos extremos da função z=f(x,y)=(x−y)⁶+(y−2)². Vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois examinar a forma da função, pois o teste da matriz Hessiana fica inconclusivo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
– Para x:
fx=partialpartial xl((x-y)^6+(y-2)^2r)=6(x-y)^5
– Para y:
fy=partialpartial yl((x-y)^6+(y-2)^2r)=-6(x-y)^5+2(y-2)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema fx=0 e fy=0:
fx=0 (x-y)^5=0 x-y=0.
– Substituindo em fy=0: -6·0+2(y-2)=0 y=2.
Então x=y e y=2 dão o único ponto crítico (2,2).

Passo 4

Calculamos a matriz Hessiana em geral:
fxx=30(x-y)^4, fxy=-30(x-y)^4, fyy=30(x-y)^4+2
No ponto (2,2) temos x-y=0, logo fxx=0, fxy=0, fyy=2. A Hessiana fica 0&00&2 com determinante zero, então o teste é inconclusivo.

Passo 5

Para contornar a inconclusão, observamos que a função é soma de potências pares: (x-y)^6>=0 e (y-2)^2>=0. O valor mínimo possível é zero, e isso acontece justamente quando x-y=0 e y-2=0, ou seja em (2,2). Portanto, esse é um mínimo global.

Passo 6

Concluímos que existe um único ponto extremo em (2,2), e nele a função atinge seu menor valor (mínimo global).

Resposta

O único ponto extremo é (2,2), que é mínimo global.

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