Determinar e classificar todos os pontos extremos da função
. Note que o teorema dado em sala de aula não se aplica.
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar todos os pontos extremos da função z=f(x,y)=(x−y)⁶+(y−2)². Vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois examinar a forma da função, pois o teste da matriz Hessiana fica inconclusivo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
– Para x:
– Para x:
– Para y:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
e
:
– ⇒
⇒
.
– Substituindo em :
⇒
.
Então e
dão o único ponto crítico
.
–
– Substituindo em
Então
Passo 4
Calculamos a matriz Hessiana em geral:
No ponto
Passo 5
Para contornar a inconclusão, observamos que a função é soma de potências pares:
e
. O valor mínimo possível é zero, e isso acontece justamente quando
e
, ou seja em
. Portanto, esse é um mínimo global.
Passo 6
Concluímos que existe um único ponto extremo em
, e nele a função atinge seu menor valor (mínimo global).
Resposta
O único ponto extremo é (2,2), que é mínimo global.