Determinar os pontos críticos das funções abaixo e dizer quais deles são máximos locais, quais são mínimos locais e quais são pontos de sela.
f(x, y)=x^2+x y+y^2-2 x-y;

Passo 1

Vamos estudar a função f(x,y)=x^2+xy+y^2-2x-y. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema nabla f=0 para achar pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx=2x+y-2=0,
fy=x+2y-1=0
Resolvendo o sistema
2x+y=2x+2y=1
obtemos x=1 e y=0. Logo, o único ponto crítico é (1,0).

Passo 3

Para classificar, montamos a Hessiana
H=fxx&fxyfyx&fyy=2&11&2
Os menores principais são
D1=2>0,
D2=det(H)=2cdot2-1cdot1=3>0
Como D1>0 e D2>0, a Hessiana é definida positiva, indicando que (1,0) é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (1, 0) e ele é um mínimo local.

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