Determinar os pontos críticos das funções abaixo e dizer quais deles são máximos locais, quais são mínimos locais e quais são pontos de sela.
z=18 x^2-32 y^2-36 x-128 y-110;

Passo 1

Temos a função z=18 x^{2}-32 y^{2}-36 x-128 y-110. O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos de funções de duas variáveis, que envolve achar as derivadas parciais, igualar a zero e depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais. A derivada em relação a x é fx=partial zpartial x=36x-36 e em relação a y é fy=partial zpartial y=-64y-128. Igualando ambas a zero:
36x-36=0,
-64y-128=0,
Resolvendo dá x=1 e y=-2. Esse é o único ponto crítico.

Passo 3

Agora, montamos a matriz Hessiana para classificar esse ponto. As segundas derivadas são fxx=36, fyy=-64 e fxy=fyx=0. Assim, a Hessiana é
H=36 & 00 & -64
O determinante fica D=36times(-64)-0= -2304<0. Quando o determinante da Hessiana é negativo, o ponto crítico é ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (1,,-2), e ele é um ponto de sela.

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