Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
\vec{r}(t)=\left(t, 3 t^{2}, 6 t^{3}\right), \quad 0 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva \vec{r}(t) = \bigl(t,\,3t^{2},\,6t^{3}\bigr) para 0 \le t \le 2.
O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, cuja fórmula diz que
L = \int_{a}^{b} \bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert \,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t) = \Bigl(\tfrac{d}{dt}t,\;\tfrac{d}{dt}(3t^{2}),\;\tfrac{d}{dt}(6t^{3})\Bigr) = \bigl(1,\;6t,\;18t^{2}\bigr).

Passo 3

O módulo de \vec{r}\,'(t) é
\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert = \sqrt{1^{2} + (6t)^{2} + (18t^{2})^{2}} = \sqrt{1 + 36t^{2} + 324t^{4}}.
Observe que
1 + 36t^{2} + 324t^{4} = (18t^{2} + 1)^{2},
logo para t\ge0 temos
\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert = 18t^{2} + 1.

Passo 4

Substituindo na integral de 0 a 2:
L = \int_{0}^{2} \bigl(18t^{2} + 1\bigr)\,dt = \int_{0}^{2}18t^{2}\,dt + \int_{0}^{2}1\,dt.
Calculando,
\int_{0}^{2}18t^{2}\,dt = 18 \cdot \frac{t^{3}}{3}\Bigm|_{0}^{2} = 6 \cdot (2^{3}) = 48,
\int_{0}^{2}1\,dt = t\Bigm|_{0}^{2} = 2.
Portanto,
L = 48 + 2 = 50.

Resposta

O comprimento de arco é 50.

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