Determine o comprimento de arco da curva da seguinte curva:: y=\frac{x^{3}}{6}+\frac{1}{2 x} ; x \in\left[\frac{1}{2}, 2\right].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x},
no intervalo x\in\bigl[\tfrac12,2\bigr]. Para isso vamos usar a fórmula do comprimento de arco
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx,
onde y'(x) é a derivada de y.

Passo 2

Calculamos a derivada de
y = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x}.
Usando \bigl(x^3/6\bigr)' = x^2/2 e \bigl(1/(2x)\bigr)' = -1/(2x^2), obtemos
y'(x) = \frac{x^2}{2} \;-\; \frac{1}{2x^2}.

Passo 3

Agora formamos
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2 = 1 + \Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^2}\Bigr)^{2}.
Desenvolvendo o quadrado e somando 1, encontramos
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2 = \frac{x^4 + 2 + x^{-4}}{4} = \frac{\bigl(x^2 + x^{-2}\bigr)^{2}}{4}.

Passo 4

Tomando a raiz, para x>0, resulta
\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2} = \frac{x^2 + x^{-2}}{2}.
Logo o comprimento de arco é
L = \int_{\tfrac12}^{2} \frac{x^2 + x^{-2}}{2}\,dx = \frac12 \int_{\tfrac12}^{2}\bigl(x^2 + x^{-2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Encontramos uma primitiva de x^2 + x^{-2}:
\int\bigl(x^2 + x^{-2}\bigr)\,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} + C.
Portanto
L = \frac12\Bigl[\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x}\Bigr]_{\tfrac12}^{2}.

Passo 6

Calculamos nos limites:
\Bigl(\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x}\Bigr)\Big|_{x=2} = \frac{8}{3} - \frac12 = \frac{16 - 3}{6} = \frac{13}{6},
\Bigl(\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x}\Bigr)\Big|_{x=\tfrac12} = \frac{1/8}{3} - 2 = \frac{1}{24} - 2 = -\frac{47}{24}.
Então
L = \frac12\Bigl(\frac{13}{6} - \bigl(-\tfrac{47}{24}\bigr)\Bigr) = \frac12\Bigl(\frac{52}{24} + \frac{47}{24}\Bigr) = \frac12\cdot\frac{99}{24} = \frac{99}{48} = \frac{33}{16}.

Resposta

O comprimento de arco é \displaystyle \frac{33}{16}.

Exercícios relacionados