Utilizando a função deslocamento \boldsymbol{s}(\boldsymbol{t})=-\mathbf{1 6} \boldsymbol{t}^{2}+\mathbf{1 0 0 0}, que fornece a altura (em pés) de um objeto que caiu por t segundos de uma altura de 1000 pés e sabendo que a velocidade no instante t=a segundos é dada por
v(a)=\lim _{t \rightarrow a} \frac{s(a)-s(t)}{a-t}
se um trabalhador de construção derruba uma chave inglesa de uma altura de 1000 pés, com que velocidade a chave cairá após 5 segundos?

Passo 1

O enunciado dá a função de deslocamento
s(t) = -16\,t^{2} + 1000
em que t está em segundos e s(t) em pés. Pede a velocidade da chave inglesa aos 5 segundos, sabendo que a velocidade num instante a é definida por
v(a) = \lim_{t \to a} \frac{s(a) - s(t)}{a - t},
ou seja, a derivada de s(t) em t=a.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada:
s(a) - s(t) = \bigl(-16\,a^{2} + 1000\bigr) - \bigl(-16\,t^{2} + 1000\bigr) = -16\,(a^{2} - t^{2}) = -16\,(a - t)\,(a + t).
Logo,
\frac{s(a)-s(t)}{a-t} = -16\,(a + t).

Passo 3

Fazendo t \to a no resultado acima, obtemos
v(a) = \lim_{t \to a} \bigl[-16\,(a + t)\bigr] = -16\,(a + a) = -32\,a.

Passo 4

Agora basta avaliar em a = 5:
v(5) = -32 \times 5 = -160.
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é para baixo.

Resposta

A velocidade da chave após 5 segundos é -160 pés por segundo (para baixo).

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