Determinar o conjunto dos números reais para os quais é verdadeira a desigualdade |2 x-3| <=|6-x|. Justifique todos os passos utilizados.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|2x - 3| <= |6 - x|
O conteúdo é inequação com valores absolutos. Como ambos os lados são não-negativos, podemos usar a equivalência
|A|<=|B|;iff;A^2<= B^2
sem gerar soluções extraviadas.

Passo 2

Aplicando essa propriedade, elevamos os dois lados ao quadrado:
(2x - 3)^2 <= (6 - x)^2

Passo 3

Expandimos e agrupamos termos:
4x^2 - 12x + 9 <= x^2 - 12x + 36
4x^2 - 12x + 9 - x^2 + 12x - 36 <= 0
3x^2 - 27 <= 0 ,

Passo 4

Resolvendo a inequação quadrática:
3x^2 - 27 <= 0 ;iff; x^2 <= 9 ;iff; -3 <= x <= 3

Passo 5

Verificamos que em x=-3 e em x=3 temos igualdade dos módulos, então esses pontos pertencem à solução. Não há nenhuma outra restrição.

Resposta

[-3,,3]

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