Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{ \begin{array}{rr}2 x-y+z= & 3 \\ 3 x+y-2 z= & -2 \\ x-y+z= & 7 \\ x+5 y+7 z= & 13 \\ x-7 y-5 z= & 12\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto‑solução do sistema linear dado. As equações fornecidas são (copiadas exatamente do enunciado):
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\[4pt] 3x + y - 2z = -2,\\[4pt] x - y + z = 7,\\[4pt] x + 5y + 7z = 13,\\[4pt] x - 7y - 5z = 12. \end{cases}
Informações relevantes:
  • Há cinco equações e três incógnitas x,y,z.
  • O objetivo é encontrar todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente todas as equações (se existirem).]

Passo 2

Método escolhido e por quê (sem resolver ainda): vamos usar eliminação de Gauss (redução por operações elementares em linhas da matriz aumentada). É o método mais direto para sistemas com várias equações: transforma o sistema em uma forma triangular onde fica claro se existe solução única, infinitas soluções ou nenhuma. A matriz aumentada do sistema é
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 1 & -2 & -2\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 7\\[4pt] 1 & 5 & 7 & 13\\[4pt] 1 & -7 & -5 & 12 \end{array}\right).
Explicação rápida (didática): cada linha da matriz aumentada representa uma equação; operações elementares (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é zerar entradas abaixo de pivôs para obter equações mais simples.]

Passo 3

Primeira etapa de eliminação: escolher uma linha com coeficiente 1 em x para facilitar. Vamos usar a terceira equação como primeira linha (troca de linhas). Após trocar a linha 1 com a linha 3, a matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7\\[4pt] 3 & 1 & -2 & -2\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 5 & 7 & 13\\[4pt] 1 & -7 & -5 & 12 \end{array}\right).
Agora, anular os coeficientes de x nas linhas 2,3,4,5 usando a linha 1:
  • Linha 2 \leftarrow Linha 2 - 3 \times Linha 1: (3,1,-2,-2) - 3\cdot(1,-1,1,7) = (0,4,-5,-23).
  • Linha 3 \leftarrow Linha 3 - 2 \times Linha 1: (2,-1,1,3) - 2\cdot(1,-1,1,7) = (0,1,-1,-11).
  • Linha 4 \leftarrow Linha 4 - Linha 1: (1,5,7,13) - (1,-1,1,7) = (0,6,6,6).
  • Linha 5 \leftarrow Linha 5 - Linha 1: (1,-7,-5,12) - (1,-1,1,7) = (0,-6,-6,5).
A matriz resultante é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 4 & -5 & -23\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -11\\[4pt] 0 & 6 & 6 & 6\\[4pt] 0 & -6 & -6 & 5 \end{array}\right).]

Passo 4

Segunda etapa: escolher pivô para y. A linha 3 tem coeficiente 1 em y, ótima para pivotar. Vamos usar a linha 3 como segunda linha (troca de linha 2 com linha 3). Matriz antes das eliminações:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -11\\[4pt] 0 & 4 & -5 & -23\\[4pt] 0 & 6 & 6 & 6\\[4pt] 0 & -6 & -6 & 5 \end{array}\right).
Agora anular as entradas de y nas outras linhas usando a nova linha 2:
  • Linha 1 \leftarrow Linha 1 + Linha 2) (porque linha 1 tem -1 em y): (1,-1,1,7) + (0,1,-1,-11) = (1,0,0,-4).Isso já nos dá x = -4 diretamente — bom sinal para simplificar.
  • Linha 3 \leftarrow Linha 3 - 4 \times Linha 2: (0,4,-5,-23) - 4\cdot(0,1,-1,-11) = (0,0,-1,21).
  • Linha 4 \leftarrow Linha 4 - 6 \times Linha 2: (0,6,6,6) - 6\cdot(0,1,-1,-11) = (0,0,12,72).
  • Linha 5 \leftarrow Linha 5 + 6 \times Linha 2: (0,-6,-6,5) + 6\cdot(0,1,-1,-11) = (0,0,-12,-61).
A matriz agora é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -11\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 21\\[4pt] 0 & 0 & 12 & 72\\[4pt] 0 & 0 & -12 & -61 \end{array}\right).]

Passo 5

Interpretação das linhas obtidas e busca por soluções: as três primeiras linhas já representam equações simples:
  • Da linha 1: 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -4, ou seja \;x = -4.
  • Da linha 2: 0\cdot x + 1\cdot y - 1\cdot z = -11, ou seja \;y - z = -11.
  • Da linha 3: 0\cdot x + 0\cdot y -1\cdot z = 21, ou seja \;-z = 21 e portanto \;z = -21.
Substituindo \;z = -21 em linha 2 dá y - (-21) = -11, isto é y + 21 = -11, então y = -32. Até aqui as três primeiras equações (as transformadas) determinariam o candidato (x,y,z)=(-4,-32,-21).

Passo 6

Verificação com as linhas restantes (consistência): as linhas 4 e 5 da matriz reduziam a equação em apenas z:
  • Linha 4 diz 12z = 72. Substituindo z = -21 obtém-se 12\cdot(-21) = -252 \neq 72. Contradição.
  • Linha 5 diz -12z = -61. Substituindo z = -21 obtém-se -12\cdot(-21) = 252 \neq -61. Outra contradição.
Qualquer uma dessas contradições mostra que as cinco equações originais não são compatíveis entre si: não existe tripletos (x,y,z) que satisfaçam simultaneamente todas as equações. Em outras palavras, o sistema é incompatível.
Explicação didática: ao reduzir um sistema por eliminação de Gauss, se aparece uma linha do tipo (0,0,0 \mid c) com c\neq 0 ou duas equações que dão valores diferentes para a mesma variável, isso indica inconsistência. Aqui obtivemos equações incompatíveis para z ( z=-21 versus z=6 da linha 4), então não há solução comum.

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

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