Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{
\right.
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Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto-solução do sistema de equações lineares com incógnitas
Queremos saber se existe algum triplo ((x,y,z)] que satisfaça simultaneamente as três igualdades e, em caso afirmativo, encontrá-lo(s). Vou trabalhar isolando variáveis e substituindo, passo a passo, para ver se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (não tem solução).]
Passo 2
Isolar uma variável na equação mais simples. A primeira equação é a mais direta para isolar
. Isolar significa escrever
em função de
:
Explicação curta: somando
em ambos os lados obtém-se
isolado; isso é uma operação algébrica elementar que preserva a equivalência da equação.
Passo 3
Substituir
na segunda equação para obter
em função de
. A segunda equação é
Substituindo
:
Agora desenvolve cada termo e simplifica passo a passo:
Isolando
(somando
e adicionando
aos dois lados):
Portanto encontramos
em função de
:
. Comentário didático: substituir reduz o número de incógnitas, transformando o sistema em equações em menos incógnitas.
Passo 4
Substituir as expressões encontradas para
e
na terceira equação para verificar consistência. A terceira equação é
Substituindo
e
:
Agora desenvolve e simplifica cada termo:
Agrupando constantes e coeficientes de
:
ou seja
Isto é uma contradição: um número fixo não pode ser igual a outro diferente. Isso mostra que, com as expressões de
e
derivadas das duas primeiras equações, a terceira equação não é satisfeita para nenhum valor de
.
Passo 5
Interpretação do que a contradição significa: quando, após eliminar variáveis, chegamos a uma igualdade impossível (como
), temos um sistema incompatível — não existe nenhum triplo
que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Outra forma de ver isso (útil na prova) é notar que a parte esquerda da terceira equação é combinação linear das duas primeiras, mas o lado direito não é compatível: existem constantes
e
tais que, para os termos com
,
encontrando
e
(verificação rápida dos coeficientes), então a combinação linear das duas primeiras dá, no lado direito,
, mas a terceira exige
. Ou seja, a mesma combinação que iguala as expressões em
produz constantes diferentes, o que provoca a inconsistência.
Passo 6
Conclusão: o sistema é incompatível; não existe solução. Portanto o conjunto-solução é o conjunto vazio.