Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{ \begin{aligned} y+4 z & =-5 \\ x+3 y+5 z & =-2 \\ 3 x+7 y+7 z & =6\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto-solução do sistema de equações lineares com incógnitas x,y,z\). As equações dadas são \[\begin{cases} y+4z=-5,\\[4pt] x+3y+5z=-2,\\[4pt] 3x+7y+7z=6. \end{cases}
Queremos saber se existe algum triplo ((x,y,z)] que satisfaça simultaneamente as três igualdades e, em caso afirmativo, encontrá-lo(s). Vou trabalhar isolando variáveis e substituindo, passo a passo, para ver se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (não tem solução).]

Passo 2

Isolar uma variável na equação mais simples. A primeira equação é a mais direta para isolar y. Isolar significa escrever y em função de z:
y+4z=-5 \quad\Longrightarrow\quad y=-5-4z.
Explicação curta: somando -4z em ambos os lados obtém-se y isolado; isso é uma operação algébrica elementar que preserva a equivalência da equação.

Passo 3

Substituir y=-5-4z na segunda equação para obter x em função de z. A segunda equação é
x+3y+5z=-2.
Substituindo y:
x+3(-5-4z)+5z=-2.
Agora desenvolve cada termo e simplifica passo a passo:
x -15 -12z +5z = -2,
x -15 -7z = -2.
Isolando x (somando 15 e adicionando 7z aos dois lados):
x = -2 + 15 + 7z = 13 + 7z.
Portanto encontramos x em função de z: x=13+7z. Comentário didático: substituir reduz o número de incógnitas, transformando o sistema em equações em menos incógnitas.

Passo 4

Substituir as expressões encontradas para x e y na terceira equação para verificar consistência. A terceira equação é
3x+7y+7z=6.
Substituindo x=13+7z e y=-5-4z:
3(13+7z) + 7(-5-4z) + 7z = 6.
Agora desenvolve e simplifica cada termo:
39 + 21z -35 -28z +7z = 6.
Agrupando constantes e coeficientes de z:
(39-35) + (21z-28z+7z) = 6,
4 + 0\cdot z = 6,
ou seja
4 = 6.
Isto é uma contradição: um número fixo não pode ser igual a outro diferente. Isso mostra que, com as expressões de x e y derivadas das duas primeiras equações, a terceira equação não é satisfeita para nenhum valor de z.

Passo 5

Interpretação do que a contradição significa: quando, após eliminar variáveis, chegamos a uma igualdade impossível (como 4=6), temos um sistema incompatível — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Outra forma de ver isso (útil na prova) é notar que a parte esquerda da terceira equação é combinação linear das duas primeiras, mas o lado direito não é compatível: existem constantes a e b tais que, para os termos com x,y,z,
3x+7y+7z = a\,(y+4z) + b\,(x+3y+5z)
encontrando a=-2 e b=3 (verificação rápida dos coeficientes), então a combinação linear das duas primeiras dá, no lado direito, a(-5)+b(-2)=(-2)(-5)+3(-2)=10-6=4, mas a terceira exige 6. Ou seja, a mesma combinação que iguala as expressões em x,y,z produz constantes diferentes, o que provoca a inconsistência.

Passo 6

Conclusão: o sistema é incompatível; não existe solução. Portanto o conjunto-solução é o conjunto vazio.

Resposta

\varnothing

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