Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{ \begin{aligned} 3 x+3 y+12 z= & 6 \\ x+y+4 z= & 2 \\ 2 x+5 y+20 z= & 10 \\ -x+2 y+8 z= & 4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto‑solução do sistema linear com as quatro equações abaixo. Vou listar as equações e as incógnitas claramente (são os dados do problema):
\begin{cases} 3x+3y+12z=6,\\[4pt] x+y+4z=2,\\[4pt] 2x+5y+20z=10,\\[4pt] -x+2y+8z=4. \end{cases}
Pergunta explícita: qual é o conjunto de todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas quatro equações?
Informações relevantes que já dá o enunciado:
  • 3 incógnitas: x, y e z.
  • 4 equações (pode haver redundância entre elas).
  • Precisamos encontrar todas as soluções (seja única, nenhuma ou infinitas).]

Passo 2

Escolhi resolver por eliminação (eliminação de Gauss / escalonamento) porque é o método mais direto para sistemas lineares: transforma o sistema em um equivalente mais simples (matriz escalonada) usando operações elementares sobre as linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações não mudam o conjunto de soluções. Depois de escalonar, fazemos retro‑substituição ou lemos as relações entre variáveis e parametrizamos, se necessário.
Vou montar a matriz aumentada do sistema e realizar operações de linha passo a passo.

Passo 3

Matriz aumentada (coluna direita é o vetor de termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 3 & 12 & 6\\[4pt] 1 & 1 & 4 & 2\\[4pt] 2 & 5 & 20 & 10\\[4pt] -1 & 2 & 8 & 4 \end{array}\right]
Explicando: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o lado direito.]

Passo 4

Primeira etapa do escalonamento: convém ter um 1 como pivô na primeira linha. Troco a linha 1 com a linha 2 (operação permitida: trocar linhas):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 2\\[4pt] 3 & 3 & 12 & 6\\[4pt] 2 & 5 & 20 & 10\\[4pt] -1 & 2 & 8 & 4 \end{array}\right]
Agora uso a primeira linha para zerar as entradas abaixo do pivô (coluna 1):
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_1.
Faço cada cálculo (vou mostrar as contas):
  • R_2 - 3R_1 = (3,3,12,6) - 3\cdot(1,1,4,2) = (3-3,\,3-3,\,12-12,\,6-6) = (0,0,0,0).
  • R_3 - 2R_1 = (2,5,20,10) - 2\cdot(1,1,4,2) = (2-2,\,5-2,\,20-8,\,10-4) = (0,3,12,6).
  • R_4 + R_1 = (-1,2,8,4) + (1,1,4,2) = (0,3,12,6).
Após essas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 12 & 6\\[4pt] 0 & 3 & 12 & 6 \end{array}\right]
Observação: a segunda linha virou linha nula — isso indica que a primeira equação original era múltiplo da segunda (ou havia redundância). Também as linhas 3 e 4 são iguais.]

Passo 5

Continuo o escalonamento: zerei abaixo do primeiro pivô; agora preciso um pivô na segunda coluna na primeira linha não nula abaixo da primeira. A linha 3 tem coeficiente 3 na coluna y, então uso-a como pivô e zereo a linha 4:
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_3 (0,3,12,6) - (0,3,12,6) = (0,0,0,0).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 12 & 6\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Para simplificar, divido a linha 3 por 3 para obter pivô igual a 1:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_3 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Agora temos uma matriz escalonada com pivôs nas colunas x e y.]

Passo 6

Interpretando as equações associadas às linhas não nulas:
  • Da primeira linha: \;x + y + 4z = 2.
  • Da terceira linha (após divisão): \;y + 4z = 2.
A partir da segunda equação temos imediatamente
y + 4z = 2. \tag{1}
Substituindo (1) na primeira equação:
x + (y+4z) = 2 \quad\Rightarrow\quad x + 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
Então x está determinado: x=0. A equação (1) relaciona y e z, deixando uma liberdade: escolhe‑se um parâmetro para z (variável livre) e obtém‑se y.
Definindo o parâmetro t\in\mathbb{R} tal que z=t, da (1) obtemos
y = 2 - 4z = 2 - 4t.
Portanto a solução geral é
(x,y,z) = \bigl(0,\;2-4t,\;t\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.
Comentário teórico curto: aqui o posto da matriz dos coeficientes é 2 (dois pivôs) e o número de incógnitas é 3, então há infinitas soluções com uma família de dimensão 3-2=1 (uma parâmetro livre).

Passo 7

Verificação rápida (substituindo a forma geral em todas as equações originais) para garantir consistência:
  • Para \;3x+3y+12z: substituindo x=0,y=2-4t,z=t 3\cdot0+3(2-4t)+12t = 6 -12t +12t = 6. OK.
  • Para \;x+y+4z: 0+(2-4t)+4t = 2. OK.
  • Para \;2x+5y+20z: 0+5(2-4t)+20t = 10 -20t +20t = 10. OK.
  • Para \;-x+2y+8z: 0+2(2-4t)+8t = 4 -8t +8t = 4. OK.
Portanto todas as equações são satisfeitas pela solução encontrada.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=0,\\ y=2-4t,\\ z=t,\\ t\in\mathbb{R}\}

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