O enunciado pede: determinar o conjunto‑solução do sistema linear com as quatro equações abaixo. Vou listar as equações e as incógnitas claramente (são os dados do problema):
Pergunta explícita: qual é o conjunto de todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas quatro equações?
Informações relevantes que já dá o enunciado:
Há 3 incógnitas: x, y e z.
Há 4 equações (pode haver redundância entre elas).
Precisamos encontrar todas as soluções (seja única, nenhuma ou infinitas).]
Passo 2
Escolhi resolver por eliminação (eliminação de Gauss / escalonamento) porque é o método mais direto para sistemas lineares: transforma o sistema em um equivalente mais simples (matriz escalonada) usando operações elementares sobre as linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações não mudam o conjunto de soluções. Depois de escalonar, fazemos retro‑substituição ou lemos as relações entre variáveis e parametrizamos, se necessário.
Vou montar a matriz aumentada do sistema e realizar operações de linha passo a passo.
Passo 3
Matriz aumentada (coluna direita é o vetor de termos independentes):
Observação: a segunda linha virou linha nula — isso indica que a primeira equação original era múltiplo da segunda (ou havia redundância). Também as linhas 3 e 4 são iguais.]
Passo 5
Continuo o escalonamento: zerei abaixo do primeiro pivô; agora preciso um pivô na segunda coluna na primeira linha não nula abaixo da primeira. A linha 3 tem coeficiente 3 na coluna y, então uso-a como pivô e zereo a linha 4:
Comentário teórico curto: aqui o posto da matriz dos coeficientes é 2 (dois pivôs) e o número de incógnitas é 3, então há infinitas soluções com uma família de dimensão 3-2=1 (uma parâmetro livre).
Passo 7
Verificação rápida (substituindo a forma geral em todas as equações originais) para garantir consistência:
Para \;3x+3y+12z: substituindo x=0,y=2-4t,z=t dá 3\cdot0+3(2-4t)+12t = 6 -12t +12t = 6. OK.
Para \;x+y+4z: 0+(2-4t)+4t = 2. OK.
Para \;2x+5y+20z: 0+5(2-4t)+20t = 10 -20t +20t = 10. OK.
Para \;-x+2y+8z: 0+2(2-4t)+8t = 4 -8t +8t = 4. OK.
Portanto todas as equações são satisfeitas pela solução encontrada.