A tarefa é encontrar todos os terços (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as cinco igualdades (ou concluir que não existe solução).
Não há outras condições extras no enunciado.]
Passo 2
Escolha do método (curtinha e direta): vamos usar eliminação de Gauss (redução por linhas). Por quê? Porque é um procedimento algorítmico simples e sistemático para sistemas lineares: transforma o sistema numa forma triangular por operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma equação em outra, trocar linhas, multiplicar por constantes não nulas), e daí lemos as incógnitas por substituição. É o método mais direto quando há várias equações.
Breve explicação do que faremos: escrever o sistema como matriz aumentada (coeficientes + termos constantes) e aplicar operações elementares por linhas para obter pivôs e eliminar incógnitas coluna a coluna.
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada inicial (cada linha corresponde a uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última é o termo independente):
Nota didática: linhas 3 e 4 ficaram iguais; isso indica dependência entre as equações originais — é comum quando há mais equações que incógnitas. Ainda assim pode haver solução única se as equações forem consistentes.]
Passo 7
Simplificamos a terceira linha para obter pivô unitário em z. Dividimos R_3 por -21:
Agora lemos as equações correspondentes às linhas não nulas:
Da linha 3: \;z=0.
Da linha 2: \;-y=-1, portanto y=1.
Da linha 1: \;x+2y=3. Substituindo y=1: x+2\cdot1=3 dá x=1.
Assim obtemos a solução
(x,y,z)=(1,1,0).
Pequena verificação (substituir nesta solução em uma ou duas equações originais para confirmar): por exemplo na primeira equação x+2y-4z=1+2\cdot1-4\cdot0=3 correto; na segunda x-2y+3z=1-2\cdot1+0=-1 também correto. Isso dá confiança que os cálculos estão certos.
Passo 9
Conclusão interpretativa: apesar de haver mais equações que incógnitas, o sistema é consistente e as equações adicionais foram dependentes (duas linhas finais nulas após redução). O sistema tem solução única, que encontramos por eliminação de Gauss.