Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{ \begin{aligned} 2 x-y+z & =3 \\ x-3 y+z & =4 \\ -5 x-2 z & =-5\end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema dado é (copiando exatamente do enunciado):
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\\ x - 3y + z = 4,\\\\ -5x - 2z = -5. \end{cases}
O que se pede: determinar o conjunto- solução, ou seja, todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as três equações.

Passo 2

Vou eliminar variáveis entre as equações para reduzir o sistema. Primeiro tento eliminar z usando a diferença entre a primeira e a segunda equação. Faço (\text{Eq}_1) - (\text{Eq}_2):
(2x - y + z) - (x - 3y + z) = 3 - 4.
Agora calculo termo a termo:
2x - y + z - x + 3y - z = -1.
Os termos com z se cancelam. Agrupando:
x + 2y = -1.
Esta é uma nova relação entre x e y que chamarei de (4):
\text{(4)}\quad x + 2y = -1.

Passo 3

Agora uso a terceira equação para relacionar x e z. Parto de
-5x - 2z = -5.
Isolo z. Primeiro passo:
-2z = -5 + 5x.
Multiplicando por -1:
2z = 5 - 5x.
Portanto
z = \frac{5 - 5x}{2}.
Esta é uma expressão explícita de z em função de x.

Passo 4

Agora uso (4) e a expressão de z para verificar consistência com a primeira (ou segunda) equação e ver se o sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas. Substituo y obtido de (4) e z da etapa anterior em \text{Eq}_1.
De (4) temos
2y = -1 - x \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-1 - x}{2}.
Substituo y e z em \text{Eq}_1:
2x - y + z = 3.
Substituindo y e z:
2x - \frac{-1 - x}{2} + \frac{5 - 5x}{2} = 3.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador 2. Primeiro escrevo 2x como \dfrac{4x}{2}. Assim:
\frac{4x}{2} + \frac{1 + x}{2} + \frac{5 - 5x}{2} = 3.
Somando numeradores:
\frac{4x + 1 + x + 5 - 5x}{2} = 3.
Calculo o numerador:
4x + x - 5x + 1 + 5 = 0x + 6 = 6.
Logo a expressão fica
\frac{6}{2} = 3,
ou seja 3 = 3, identidade verdadeira. Isso significa que a primeira equação não traz nova restrição além de (4) e da terceira equação; as três equações não são independentes. Conclusão parcial: o sistema é compatível e tem infinitas soluções (um dos graus de liberdade).

Passo 5

Para descrever o conjunto das soluções parametrizo por uma variável livre. Escolho t\in\mathbb{R} e ponho
x = t.
A partir de (4) obtenho y em função de t:
x + 2y = -1\quad\Rightarrow\quad 2y = -1 - x = -1 - t\quad\Rightarrow\quad y = \frac{-1 - t}{2}.
E a partir da expressão de z da Passo 3:
z = \frac{5 - 5x}{2} = \frac{5 - 5t}{2}.

Passo 6

Coloco a solução em forma vetorial (forma afim), separando a parte particular e a parte que multiplica o parâmetro t. Escrevo o triplo (x,y,z) como
(x,y,z) = \left(t,\; \frac{-1 - t}{2},\; \frac{5 - 5t}{2}\right).
Reescrevendo para evidenciar a dependência linear em t:
(x,y,z) = \left(0,\; -\frac{1}{2},\; \frac{5}{2}\right) + t\left(1,\; -\frac{1}{2},\; -\frac{5}{2}\right),
com t\in\mathbb{R}.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid (x,y,z)=\left(t,\dfrac{-1-t}{2},\dfrac{5-5t}{2}\right),\\ t\in\mathbb{R}\}

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