Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{\begin{aligned} 2 x-y+z & =3 \\ x-3 y+z & =4 \\ -5 x-2 z & =-5\end{aligned}\right.
Passo 1
O sistema dado é (copiando exatamente do enunciado):
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\\ x - 3y + z = 4,\\\\ -5x - 2z = -5. \end{cases}
O que se pede: determinar o conjunto- solução, ou seja, todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as três equações.
Passo 2
Vou eliminar variáveis entre as equações para reduzir o sistema. Primeiro tento eliminar z usando a diferença entre a primeira e a segunda equação. Faço (\text{Eq}_1) - (\text{Eq}_2):
(2x - y + z) - (x - 3y + z) = 3 - 4.
Agora calculo termo a termo:
2x - y + z - x + 3y - z = -1.
Os termos com z se cancelam. Agrupando:
x + 2y = -1.
Esta é uma nova relação entre x e y que chamarei de (4):
\text{(4)}\quad x + 2y = -1.
Passo 3
Agora uso a terceira equação para relacionar x e z. Parto de
-5x - 2z = -5.
Isolo z. Primeiro passo:
-2z = -5 + 5x.
Multiplicando por -1:
2z = 5 - 5x.
Portanto
z = \frac{5 - 5x}{2}.
Esta é uma expressão explícita de z em função de x.
Passo 4
Agora uso (4) e a expressão de z para verificar consistência com a primeira (ou segunda) equação e ver se o sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas. Substituo y obtido de (4) e z da etapa anterior em \text{Eq}_1.
De (4) temos
2y = -1 - x \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-1 - x}{2}.
Substituo y e z em \text{Eq}_1:
2x - y + z = 3.
Substituindo y e z:
2x - \frac{-1 - x}{2} + \frac{5 - 5x}{2} = 3.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador 2. Primeiro escrevo 2x como \dfrac{4x}{2}. Assim:
ou seja 3 = 3, identidade verdadeira. Isso significa que a primeira equação não traz nova restrição além de (4) e da terceira equação; as três equações não são independentes. Conclusão parcial: o sistema é compatível e tem infinitas soluções (um dos graus de liberdade).
Passo 5
Para descrever o conjunto das soluções parametrizo por uma variável livre. Escolho t\in\mathbb{R} e ponho
x = t.
A partir de (4) obtenho y em função de t:
x + 2y = -1\quad\Rightarrow\quad 2y = -1 - x = -1 - t\quad\Rightarrow\quad y = \frac{-1 - t}{2}.
E a partir da expressão de z da Passo 3:
z = \frac{5 - 5x}{2} = \frac{5 - 5t}{2}.
Passo 6
Coloco a solução em forma vetorial (forma afim), separando a parte particular e a parte que multiplica o parâmetro t. Escrevo o triplo (x,y,z) como