Determinar a convergência de 0,535353 \ldots

Passo 1

O enunciado nos apresenta o número decimal periódico 0,535353\ldots e pede para determinar a convergência dessa sequência de dígitos infinitos. Para isso, vamos interpretá-lo como uma série infinita e usar o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos 0,535353\ldots como soma de parcelas que se repetem a cada dois dígitos. Note que
0,535353\ldots = 0,53 + 0,0053 + 0,000053 + \cdots
ou seja,
0,535353\ldots = \sum_{k=0}^{\infty} 0,53 \times 10^{-2k}.

Passo 3

Reconhecemos que isso é uma série geométrica de primeira parcela
a = 0,53 = \frac{53}{100}
e razão
r = 10^{-2} = \frac{1}{100}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{1}{100}<1, a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, temos
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\tfrac{53}{100}}{1 - \tfrac{1}{100}} = \frac{\tfrac{53}{100}}{\tfrac{99}{100}} = \frac{53}{99}.

Resposta

A expansão 0,535353\ldots converge e seu valor é \tfrac{53}{99}.

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