Determinar a convergência de
Passo 1
O enunciado nos apresenta o número decimal periódico
e pede para determinar a convergência dessa sequência de dígitos infinitos. Para isso, vamos interpretá-lo como uma série infinita e usar o critério de convergência para séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
como soma de parcelas que se repetem a cada dois dígitos. Note que
ou seja,
Passo 3
Reconhecemos que isso é uma série geométrica de primeira parcela
e razão
Como
, a série converge.
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, temos
Resposta
A expansão
converge e seu valor é
.