Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n!}{2^{n+1}}
. (Use o Teste da razão para séries alternadas)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n!}{2^{n+1}}
Usaremos o teste da razão para verificar se ela converge absolutamente e, em seguida, o teste da terminação de série para concluir sobre a convergência geral.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{n!}{2^{n+1}}.
Aplicando o teste da razão absoluto, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!/2^{n+2}}{n!/2^{n+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2} =+\infty.
Como L>1, a série dos valores absolutos \sum a_n diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Para que qualquer série — alternada ou não — seja convergente, é necessário que o termo geral tenda a zero. Aqui
\lim_{n\to\infty}(-1)^n\frac{n!}{2^{n+1}}
não existe como zero, pois \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{2^{n+1}}=+\infty. Portanto, falha a condição necessária de convergência.

Resposta

A série diverge.

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