Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}(\sqrt{2}+2)^{n}}{3^{n}}
. (Use o teste da raiz)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}(\sqrt{2}+2)^{n}}{3^{n}}
usando o teste da raiz. Vamos aplicar o teste da raiz à sequência de termos gerais \displaystyle a_n = \frac{n^{3}(\sqrt{2}+2)^{n}}{3^{n}}.

Passo 2

No teste da raiz, calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{3}}\;\times\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl(\tfrac{\sqrt{2}+2}{3}\bigr)^{n}}.
Repare que
\sqrt[n]{a_n} =\sqrt[n]{n^{3}}\;\cdot\;\frac{\sqrt{2}+2}{3} =n^{3/n}\;\cdot\;\frac{\sqrt{2}+2}{3}.

Passo 3

Agora avaliamos cada fator no limite:
\lim_{n\to\infty}n^{3/n} =\lim_{n\to\infty}e^{\frac{3\ln n}{n}} =e^{0} =1.
Portanto
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\;1\;\times\;\frac{\sqrt{2}+2}{3} =\frac{\sqrt{2}+2}{3}.

Passo 4

Como \sqrt{2}\approx1,414, temos
\frac{\sqrt{2}+2}{3}\approx\frac{3,414}{3}\approx1,138>1.
Pelo teste da raiz, se L>1 a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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