Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos cujas diferenças entre as distâncias a
e
aão sempre 4.
Passo 1
O problema pede para encontrar o lugar geométrico dos pontos
em
tais que a diferença entre as distâncias a
e
seja sempre 4. O conteúdo envolve superfícies quádricas e vamos usar a fórmula da distância no espaço e manipulações algébricas.
Passo 2
Denotemos
O enunciado exige
. Para começar, consideramos o caso
Passo 3
A partir de
isolamos
:
Agora elevamos ao quadrado para eliminar uma das raízes:
Substituindo
e
, temos
Simplificando as partes quadráticas de
:
passemos esse resultado:
ou seja
Passo 4
Note que
deve ser positivo, o que efetivamente impõe depois uma restrição em
, mas vamos prosseguir para eliminar a última raiz. Como
, elevamos ao quadrado:
Isso dá
Multiplicando por 4 e arrumando termos,
Passando tudo para um lado:
Passo 5
Reescrevendo de forma padrão dividindo por
:
ou seja
e finalmente
Passo 6
O caso
leva, após os mesmos passos, à mesma equação quadrática. Portanto o lugar geométrico é o conjunto de pontos que satisfazem
Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, simétrico em relação ao plano
.
Resposta
A equação do lugar geométrico é