Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos cujas diferenças entre as distâncias a (0,0,3) e (0,0,-3) aão sempre 4.

Passo 1

O problema pede para encontrar o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) em R^3 tais que a diferença entre as distâncias a (0,0,3) e (0,0,-3) seja sempre 4. O conteúdo envolve superfícies quádricas e vamos usar a fórmula da distância no espaço e manipulações algébricas.

Passo 2

Denotemos
d1 = raizx^2 + y^2 + (z - 3)^2,
d2 = raizx^2 + y^2 + (z + 3)^2
O enunciado exige |d1 - d2| = 4. Para começar, consideramos o caso
d1 - d2 = 4

Passo 3

A partir de d1 - d2 = 4 isolamos d1:
d1 = d2 + 4
Agora elevamos ao quadrado para eliminar uma das raízes:
d1^2 = (d2 + 4)^2 = d2^2 + 8d2 + 16
Substituindo d1^2 = x^2 + y^2 + (z - 3)^2 e d2^2 = x^2 + y^2 + (z + 3)^2, temos
x^2 + y^2 + (z - 3)^2 = x^2 + y^2 + (z + 3)^2 + 8d2 + 16
Simplificando as partes quadráticas de z:
(z - 3)^2 - (z + 3)^2 = -12z,
passemos esse resultado:
-12z = 8d2 + 16
ou seja
d2 = -12z + 168 = -3z + 42

Passo 4

Note que d2 deve ser positivo, o que efetivamente impõe depois uma restrição em z, mas vamos prosseguir para eliminar a última raiz. Como d2^2 = x^2 + y^2 + (z + 3)^2, elevamos ao quadrado:
(-3z + 42)^2 = x^2 + y^2 + (z + 3)^2
Isso dá
(3z + 4)^24 = x^2 + y^2 + z^2 + 6z + 9
Multiplicando por 4 e arrumando termos,
9z^2 + 24z + 16 = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 + 24z + 36
Passando tudo para um lado:
4x^2 + 4y^2 - 5z^2 + 20 = 0

Passo 5

Reescrevendo de forma padrão dividindo por 20:
4x^2 + 4y^220 - 5z^220 + 1 = 0
ou seja
x^2 + y^25 - z^24 + 1 = 0
e finalmente
z^24 - x^2 + y^25 = 1

Passo 6

O caso d2 - d1 = 4 leva, após os mesmos passos, à mesma equação quadrática. Portanto o lugar geométrico é o conjunto de pontos que satisfazem
z^24 - x^2 + y^25 = 1
Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, simétrico em relação ao plano z=0.

Resposta

A equação do lugar geométrico é
z^24 - x^2 + y^25 = 1

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