Achar a equação do lugar geométrico gerado por um ponto, sabendo que o quadrado de sua distância ao eixo dos z é sempre igual ao dobro de sua distância ao plano x y.

Passo 1

O exercício pede o lugar geométrico de um ponto P=(x,y,z) de modo que o quadrado da distância de P ao eixo z seja igual ao dobro da distância de P ao plano xy. Vamos usar as fórmulas de distância de ponto a eixo e de ponto a plano.

Passo 2

A distância de P ao eixo z é raizx^2+y^2. Logo, o quadrado dessa distância é x^2+y^2.

Passo 3

A distância de P ao plano xy é |z|.

Passo 4

Aplicando a condição dada, escrevemos
x^2+y^2 = 2lvert zrvert
Essa é a equação que define o lugar geométrico.

Passo 5

Para visualizar melhor, dividimos em dois casos:
  • Para z>=0:
x^2+y^2 = 2z
- Para z<=0:
x^2+y^2 = -2z
Esses são dois paraboloides circulares que se encontram na origem.

Resposta

x^2 + y^2 = 2|z|

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