Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
3 x^2+y^2+2 z^2+3 x+3 y+4 z=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a quádricas 3x^2 + y^2 + 2z^2 + 3x + 3y + 4z = 0. O objetivo é encontrar o centro e identificar o tipo dessa quádricas, usando o método de completar quadrados para obter a forma canônica.

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em x: 3x^2 + 3x = 3(x^2 + x). Pela teoria de completar quadrados, x^2 + x = (x+tfrac12)^2 - tfrac14. Assim: 3(x^2 + x) = 3(x+tfrac12)^2 - tfrac34.
Agora em y: y^2 + 3y = (y + tfrac32)^2 - tfrac94, pois y^2 + 3y = y^2 + 2cdot ycdot tfrac32 + (tfrac32)^2 - (tfrac32)^2.
Em z: 2z^2 + 4z = 2(z^2 + 2z). Aplicando completar quadrados, z^2 + 2z = (z+1)^2 - 1, logo 2(z^2 + 2z) = 2(z+1)^2 - 2.

Passo 3

Somando essas reescritas e voltando à equação original, obtemos:
3(x+tfrac12)^2 - tfrac34 + (y+tfrac32)^2 - tfrac94 + 2(z+1)^2 - 2 = 0
Reunindo constantes: -tfrac34 - tfrac94 - 2 = -5. Então:
3(x+tfrac12)^2 + (y+tfrac32)^2 + 2(z+1)^2 - 5 = 0
ou seja
3(x+tfrac12)^2 + (y+tfrac32)^2 + 2(z+1)^2 = 5

Passo 4

Dividindo por 5 para chegar na forma padrão de um elipsoide, temos:
(x+tfrac12)^25/3 + (y+tfrac32)^25 + (z+1)^25/2 = 1
Daqui concluímos que o centro está em (-tfrac12, -tfrac32, -1) e, como todos os denominadores são positivos, trata-se de um elipsoide.

Resposta

Centro: (-1/2, -3/2, -1). A quádricas é um elipsoide.

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