Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a quádricas
. O objetivo é encontrar o centro e identificar o tipo dessa quádricas, usando o método de completar quadrados para obter a forma canônica.
Passo 2
Primeiro, agrupamos os termos em
:
. Pela teoria de completar quadrados,
. Assim:
.
Agora em :
, pois
.
Em :
. Aplicando completar quadrados,
, logo
.
Agora em
Em
Passo 3
Somando essas reescritas e voltando à equação original, obtemos:
Reunindo constantes:
ou seja
Passo 4
Dividindo por 5 para chegar na forma padrão de um elipsoide, temos:
Daqui concluímos que o centro está em
Resposta
Centro: (-1/2, -3/2, -1). A quádricas é um elipsoide.