Determine os seguintes limites:
lim t 0(t^2-6 t+7 cdot ln (t+1));

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limtto0l(t^2-6t+7ln(1+t)r). O conteúdo é limites de funções envolvendo polinômios e logaritmo natural, e vamos usar continuidade e expansão em série para resolver.

Passo 2

As funções t^2, -6t e ln(1+t) são todas contínuas em t=0. Logo, pela soma de limites de funções contínuas, podemos fazer substituição direta:

Passo 3

  • limtto0t^2=0
  • limtto0(-6t)=0
  • limtto0ln(1+t)=ln1=0
    Assim,
limtto0l(t^2-6t+7ln(1+t)r)=0+0+7cdot0=0

Passo 4

Para confirmar o comportamento assintótico próximo de t=0, podemos usar a expansão em série de Taylor:
ln(1+t)=t-t^22+O(t^3)
Substituindo,
t^2-6t+7ln(1+t)&=t^2-6t+7l(t-tfract^22+O(t^3)r) &=t^2-6t+7t-tfrac72t^2+O(t^3) &=t+l(1-tfrac72r)t^2+O(t^3) &=t-tfrac52t^2+O(t^3)
Como t-tfrac52t^2+O(t^3)to0 quando tto0, confirmamos que o limite é 0.

Resposta

0

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