Determine a derivada das seguintes funçôes:
r(t)=(t g(t), sec (t), 1t);

Passo 1

O enunciado nos dá uma função vetorial r(t) = (t,g(t),,sec(t),,1/t) e pede a sua derivada. O conteúdo aqui é derivada de funções vetoriais, aplicando as regras de derivação em cada componente — produto, função trigonométrica e potência.

Passo 2

Para a primeira componente t,g(t) usamos a regra do produto: derivada de t é 1 e de g(t) é g'(t). Logo
ddtl(t,g(t)r)=1cdot g(t)+tcdot g'(t)=g(t)+t,g'(t)
Para a segunda componente sec(t) usamos que a derivada de sec(t) é sec(t)tan(t). Então
ddtl(sec(t)r)=sec(t)tan(t)
Para a terceira componente 1/t = t^-1 usamos a regra de potência:
ddtl(t^-1r)=-1,t^-2=-1t^2

Passo 3

Reunindo as três componentes, obtemos o vetor derivada r'(t).

Resposta

r'(t) = l(g(t) + t,g'(t),,sec(t)tan(t),,-tfrac1t^2r)

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