Determinar as coordenadas do vértice, foco e a equação da diretriz das seguintes parábolas:
(g) y^{2}-8 y-8 x+40=0

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola
y^{2}-8y-8x+40=0
e pede as coordenadas do vértice, do foco e a equação da diretriz. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, e vamos precisar completar o quadrado em y para pôr a equação na forma padrão.

Passo 2

Começamos isolando os termos em y e passando os demais para o outro lado:
y^{2}-8y+40 = 8x.
Agora completamos o quadrado em y adicionando e subtraindo 16:
y^{2}-8y+16 = 8x - 40 +16,
(y-4)^{2} = 8x -24.
Por fim, fatoramos o lado direito:
(y-4)^{2} = 8(x-3).

Passo 3

A forma padrão de uma parábola horizontal é
(y-k)^{2} = 4p\,(x-h).
Aqui temos 4p = 8, logo p=2, e identificamos (h,k)=(3,4). Assim,
o vértice é
V = (h,k) = (3,4).

Passo 4

Para parábola com eixo paralelo ao eixo x, o foco fica a distância p para a direita do vértice, e a diretriz é a reta vertical a p para a esquerda do vértice. Portanto:
o foco é
F = (h+p,\,k) = (3+2,\,4) = (5,4),
e a diretriz é
x = h - p = 3 - 2 = 1.

Resposta

Vértice: (3,4)
Foco: (5,4)
Diretriz: x=1

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