1. Sendo \vec{a}=(2,-1,1), \vec{b}=(1,-2,-2) e \vec{c}=(1,1,-1). Calcular um vetor \vec{v}=(x, y, z), tal que \vec{v} \bullet \vec{a}=4, \vec{v} \bullet \vec{b}=-9 e \vec{v} \bullet \vec{c}=5.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(2,-1,1), \vec{b}=(1,-2,-2) e \vec{c}=(1,1,-1) e pede um vetor \vec{v}=(x,y,z) tal que os produtos escalares sejam
\vec{v}\!\cdot\!\vec{a}=4, \vec{v}\!\cdot\!\vec{b}=-9 e \vec{v}\!\cdot\!\vec{c}=5.
O conteúdo é resolução de sistema linear obtido pelos produtos escalares.

Passo 2

Cada produto escalar gera uma equação:
\begin{cases} 2x - y + z = 4,\\\ x - 2y - 2z = -9,\\\ x + y - z = 5. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação isolamos x:
x = 5 - y + z.
Da segunda equação isolamos x também:
x = -9 + 2y + 2z.
Igualando as duas expressões de x vem
5 - y + z = -9 + 2y + 2z \quad\Longrightarrow\quad 3y + z = 14 \quad\Longrightarrow\quad z = 14 - 3y.

Passo 4

Substituímos z = 14 - 3y em x = 5 - y + z:
x = 5 - y + (14 - 3y) = 19 - 4y.
Agora usamos esses x e z na primeira equação:
2(19 - 4y) - y + (14 - 3y) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 38 - 8y - y + 14 - 3y = 4 \quad\Longrightarrow\quad 52 - 12y = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 4.
Com y=4 obtemos
x = 19 - 4\cdot4 = 3, \quad z = 14 - 3\cdot4 = 2.

Resposta

\vec{v}=(3,4,2)

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