Determinar as coordenadas do vetor v sabendo-se que v é ortogonal aos vetores v1=(2,3,-1) e v2=(1,-2,3) e que satisfaz à condição
v cdot(2 i-j+k)=6

Passo 1

O enunciado pede para determinar as coordenadas de um vetor vec vin R^3 que é ortogonal aos vetores vec v1=(2,3,-1) e vec v2=(1,-2,3), e satisfaz à condição de produto escalar vec vcdot(2vec i-vec j+vec k)=6. O conteúdo envolve produto escalar, ortogonalidade e resolução de sistema linear.

Passo 2

Vamos chamar vec v=(x,y,z). A ortogonalidade a vec v1 e vec v2 gera duas equações:

Passo 3

2x+3y - z = 0, x - 2y + 3z = 0

Passo 4

A condição extra é

Passo 5

vec vcdot(2vec i-vec j+vec k)=2x - y + z = 6

Passo 6

Da primeira equação temos z=2x+3y. Substituindo na segunda:

Passo 7

x -2y +3(2x+3y)=0implies x -2y +6x +9y=0implies 7x+7y=0implies x=-y

Passo 8

Usando x=-y em z=2x+3y obtemos

Passo 9

z=2(-y)+3y=y

Passo 10

Agora substituímos x=-y e z=y na terceira equação:

Passo 11

2x - y + z = 6 implies 2(-y)-y+y=6implies -2y=6implies y=-3

Passo 12

Finalmente, com y=-3 temos x=-(-3)=3 e z=y=-3.

Resposta

(3,-3,-3)

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