Questão-4. Considere o espaço vetorial V=M2 times 2(R) munido do produto interno definido por lang<= u, vrang<==traço(u^T v)̧. (O traço de uma matriz é a soma de sua diagonal principal).
Sejam v1=(cc1 & -1 0 & 2) e v2=(cc-2 & 0 1 & 1) vetores de V.
a) Encontre o ángulo entre os vetores v1 e v2.
b) Determine a distância do vetor v3=(cc2 & 1 -1 & 3) até o subespaço vetorial S=[v1, v2].

Passo 1

O enunciado pede para, no espaço vetorial V = M_{2×2}(ℝ) com produto interno ⟨u,v⟩ = traço(uᵀv), (a) achar o ângulo entre v₁ e v₂; (b) calcular a distância de v₃ ao subespaço S = span{v₁,v₂}. Vamos usar as definições de produto interno, norma induzida e projeção ortogonal.

Passo 2

Para o ângulo, usamos a fórmula cos θ = ⟨v₁,v₂⟩|v₁|,|v₂|. Calculamos
⟨v₁,v₂⟩ = 1(−2)+ (−1)·0 + 0·1 + 2·1 = 0,
|v₁|^2 = 1^2 + (−1)^2 + 0^2 + 2^2 = 6, |v₂|^2 = (−2)^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 = 6

Passo 3

Como ⟨v₁,v₂⟩=0, segue que cos θ=0 e portanto
θ = π2(90^circ)
Agora, para a distância de v₃ ao subespaço ortogonalmente gerado por v₁,v₂, usamos
d(v₃,S)= |v₃ - projS(v₃)|,
onde
projS(v₃)= sumi=1^2 ⟨v₃,vi⟩|vi|^2,vi

Passo 4

Calculamos os produtos internos
⟨v₃,v₁⟩ = 2·1 + 1·(−1) + (−1)·0 + 3·2 = 7,
⟨v₃,v₂⟩ = 2·(−2) + 1·0 + (−1)·1 + 3·1 = −2,
e a norma de v₃
|v₃|^2 = 2^2 + 1^2 + (−1)^2 + 3^2 = 15
Logo
|v₃ - projS(v₃)|^2 = |v₃|^2 - (7^26 + (−2)^26) = 15 - 536 = 376
Portanto a distância é raiz37/6.

Resposta

Ângulo = π/2 rad (90°); Distância = raiz37/6.

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