Questão-4. Considere o espaço vetorial munido do produto interno definido por . (O traço de uma matriz é a soma de sua diagonal principal).
Sejam e v2=(cc-2 & 0 1 & 1) vetores de V.
a) Encontre o ángulo entre os vetores v1 e v2.
b) Determine a distância do vetor v3=(cc2 & 1 -1 & 3) até o subespaço vetorial S=[v1, v2].
Passo 1
O enunciado pede para, no espaço vetorial V = M_{2×2}(ℝ) com produto interno ⟨u,v⟩ = traço(uᵀv), (a) achar o ângulo entre v₁ e v₂; (b) calcular a distância de v₃ ao subespaço S = span{v₁,v₂}. Vamos usar as definições de produto interno, norma induzida e projeção ortogonal.
Passo 2
Para o ângulo, usamos a fórmula cos θ = ⟨v₁,v₂⟩|v₁|,|v₂|₁₂₁₂. Calculamos