Determinar as coordenadas do vetor \vec{u}, paralelo ao vetor \vec{v}=(1,-1,2), tal que \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle= -18.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \vec{u}, que é paralelo ao vetor dado \vec{v}=(1,-1,2), e satisfaz \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=-18.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O vetor \vec{v} é \vec{v}=(1,-1,2).
  • O produto interno (produto escalar) entre \vec{u} e \vec{v} vale -18: \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=-18.
  • A condição “paralelo” implica que \vec{u} é múltiplo escalar de \vec{v} (ou seja, existe um escalar k tal que \vec{u}=k\vec{v}).\n

Passo 2

Vamos usar a consequência direta da paralelidade: se dois vetores são paralelos, um é múltiplo escalar do outro. Escrevo isso assim:
\vec{u}=k\,\vec{v}
onde k é um número real desconhecido que vamos determinar. Aqui \vec{v}=(1,-1,2), então \vec{u}=k(1,-1,2). Não vou ainda escrever as coordenadas finais de \vec{u}; primeiro precisamos achar k.\n

Passo 3

Explico o produto interno (produto escalar) que vamos usar: para dois vetores em \mathbb{R}^3,
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto interno é
\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
É só multiplicar coordenada a coordenada e somar. Essa fórmula é a que vamos aplicar em \langle\vec{u},\vec{v}\rangle.\n

Passo 4

Substituímos \vec{u}=k\vec{v} na expressão do produto interno. Usando linearidade do produto interno em uma das entradas (ou simplesmente aplicando a fórmula de coordenadas), obtemos
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = \langle k\vec{v},\vec{v}\rangle = k\,\langle\vec{v},\vec{v}\rangle.
Aqui \langle\vec{v},\vec{v}\rangle é o produto interno de \vec{v} consigo mesmo, que é a soma dos quadrados das coordenadas de \vec{v}.\n

Passo 5

Calculemos \langle\vec{v},\vec{v}\rangle. Como \vec{v}=(1,-1,2),
\langle\vec{v},\vec{v}\rangle = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6.
Portanto \langle\vec{u},\vec{v}\rangle = k\cdot 6 = 6k.\n

Passo 6

Usamos a condição dada no enunciado: \langle\vec{u},\vec{v}\rangle = -18. Igualando,
6k = -18.
Agora resolvemos para k: dividimos ambos os lados por 6,
k = \frac{-18}{6} = -3.\n

Passo 7

Agora que encontramos k=-3, lembramos que \vec{u}=k\vec{v}. Para obter as coordenadas de \vec{u} basta multiplicar cada coordenada de \vec{v} por k. (Não esquece: multiplicar um vetor por escalar significa multiplicar cada componente.)\n

Passo 8

Verificação rápida: se \vec{u}= -3\vec{v}, então \langle\vec{u},\vec{v}\rangle = -3\langle\vec{v},\vec{v}\rangle = -3\cdot 6 = -18, que é exatamente o pedido. Tudo bate.\n

Resposta

(-3,3,-6)

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