Determinar as coordenadas do vetor
, paralelo ao vetor
, tal que
-18.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor
, que é paralelo ao vetor dado
, e satisfaz
.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O vetor
é . - O produto interno (produto escalar) entre
e vale : . - A condição “paralelo” implica que
é múltiplo escalar de (ou seja, existe um escalar tal que ).\n
Passo 2
Vamos usar a consequência direta da paralelidade: se dois vetores são paralelos, um é múltiplo escalar do outro. Escrevo isso assim:
onde
é um número real desconhecido que vamos determinar. Aqui
, então
. Não vou ainda escrever as coordenadas finais de
; primeiro precisamos achar
.\n
Passo 3
Explico o produto interno (produto escalar) que vamos usar: para dois vetores em
,
o produto interno é
É só multiplicar coordenada a coordenada e somar. Essa fórmula é a que vamos aplicar em
.\n
Passo 4
Substituímos
na expressão do produto interno. Usando linearidade do produto interno em uma das entradas (ou simplesmente aplicando a fórmula de coordenadas), obtemos
Aqui
é o produto interno de
consigo mesmo, que é a soma dos quadrados das coordenadas de
.\n
Passo 5
Calculemos
. Como
,
Portanto
Passo 6
Usamos a condição dada no enunciado:
. Igualando,
Agora resolvemos para
: dividimos ambos os lados por
,
Passo 7
Agora que encontramos
, lembramos que
. Para obter as coordenadas de
basta multiplicar cada coordenada de
por
. (Não esquece: multiplicar um vetor por escalar significa multiplicar cada componente.)\n
Passo 8
Verificação rápida: se
, então
, que é exatamente o pedido. Tudo bate.\n